Kąty i ich własności

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ (tworzą kąt półpełny):

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Nie mylić z dopełniającymi: te sumują się do $90^\circ$ — stąd błędna odpowiedź A.

Odpowiedź: B. $115^\circ$.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180^\circ$:

$$\gamma=180^\circ-47^\circ-58^\circ=75^\circ$$

Kontrola: $47^\circ+58^\circ+75^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzeci kąt ma $75^\circ$.

Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma jego kątów to dwukrotność sumy kątów trójkąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Wzór ogólny dla wielokąta o $n$ bokach: $(n-2)\cdot180^\circ$. Dla $n=4$ daje $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\cdot7}{2}=\frac{70}{2}=35\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $35$ cm$^2$.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Na dwa z nich zostaje:

$$180^\circ-80^\circ=100^\circ$$

Dzielimy na dwa równe kąty:

$$100^\circ:2=50^\circ$$

Kontrola: $80^\circ+50^\circ+50^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: każdy kąt przy podstawie ma $50^\circ$.

Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciw siebie. Zawsze mają równe miary.

Nie mylić z kątami przyległymi, które leżą obok siebie i sumują się do $180^\circ$ (odpowiedź B).

Odpowiedź: A. są równe.

Pole równoległoboku to iloczyn podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę:

$$P=a\cdot h=12\cdot5=60\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — drugi bok. Z obwodu $2(a+b)=46$ mamy $a+b=23$:

$$b=23-15=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=15\cdot8=120\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(15+8)=2\cdot23=46$ cm ✔

Odpowiedź: pole wynosi $120$ cm$^2$.

W rombie przekątne mają dwie szczególne własności: są prostopadłe i przecinają się w połowie.

Porównanie: w prostokącie przekątne połowią się, ale nie są prostopadłe; w równoległoboku też tylko się połowią. Kwadrat ma obie własności (bo jest szczególnym rombem).

Odpowiedź: D. romb.

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Podstawiamy:

$$P=\frac{(10+6)\cdot4}{2}=\frac{16\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $32$ cm$^2$.

Kąt zewnętrzny i przyległy do niego kąt wewnętrzny są kątami przyległymi — sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Ciekawostka: kąt zewnętrzny równa się też sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta.

Odpowiedź: B. $70^\circ$.

Przekształcamy wzór na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2P}{h}$$

Podstawiamy:

$$a=\frac{2\cdot48}{8}=\frac{96}{8}=12\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot8}{2}=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: podstawa ma $12$ cm.

Suma kątów wielokąta o $n$ bokach to $(n-2)\cdot180^\circ$, a w foremnym każdy kąt jest równy, więc kąt pojedynczy to $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

Zamiast rozwiązywać równanie — sprawdźmy pięciokąt ($n=5$):

$$\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$$

Zgadza się. To pięciokąt foremny.

Odpowiedź: C. $5$ boków.

Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy jednym z ramion).

Krok 1 — dwa kąty proste: $90^\circ$ i $90^\circ$.

Krok 2 — kąt przy drugim ramieniu. Kąty przy tym samym ramieniu trapezu leżą przy prostych równoległych, więc sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Kontrola sumy: $90^\circ+90^\circ+65^\circ+115^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty trapezu to $90^\circ$, $90^\circ$, $65^\circ$ i $115^\circ$.

Pole rombu obliczamy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=\frac{48}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Uwaga: dzielenie przez $2$ jest konieczne — pominięcie go dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $24$ cm$^2$.

Kwadrat łączy własności prostokąta i rombu, więc jego przekątne są równej długości (cecha prostokąta) i jednocześnie prostopadłe (cecha rombu).

Zdanie A twierdzi, że przekątne mają różne długości — to nieprawda.

Pozostałe zdania (B, C, D) są prawdziwe.

Odpowiedź: A. (zdanie fałszywe).

Długość siatki to obwód prostokąta:

$$O=2(30+18)=2\cdot48=96\ \text{m}$$

Pole działki:

$$P=30\cdot18=540\ \text{m}^2$$

Uwaga: obwód i pole to dwie różne wielkości — siatkę liczymy z obwodu (w metrach), a powierzchnię z pola (w metrach kwadratowych).

Odpowiedź: potrzeba $96$ m siatki, pole działki to $540$ m$^2$.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — wartość jednej części. Suma kątów to $180^\circ$:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — poszczególne kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Kontrola: $40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty mają $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$.

Pole figury po wycięciu to różnica pól.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=12\cdot8=96$$

Krok 2 — pole wyciętego trójkąta:

$$P_2=\frac{12\cdot5}{2}=30$$

Krok 3 — pole zacienionej figury:

$$P=96-30=66$$

Odpowiedź: pole figury wynosi $66$ jednostek kwadratowych.

Krok 1 — warunki. Kąty dopełniające sumują się do $90^\circ$:

$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \alpha=\beta+20^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$(\beta+20^\circ)+\beta=90^\circ \quad\Rightarrow\quad 2\beta=70^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta=35^\circ$$

Krok 3 — drugi kąt:

$$\alpha=35^\circ+20^\circ=55^\circ$$

Sprawdzenie: $55^\circ+35^\circ=90^\circ$ ✔, a różnica $55^\circ-35^\circ=20^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=55^\circ$, $\beta=35^\circ$.

1. $180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ$.

Odpowiedź: $65^\circ$

1. $180^\circ-63^\circ=117^\circ$.

Odpowiedź: $117^\circ$

1. Kąty przy podstawie są równe: $(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Pozostałe $140^\circ$ dzieli się po równo na dwa kąty przy podstawie.

1. 1. Kąt przeciwległy też ma $65^\circ$ — prawda.
2. 2. Kąt sąsiedni ma $180^\circ-65^\circ=115^\circ$ — prawda.

Odpowiedź: PP

1. $|\angle BAC|=180^\circ-35^\circ-80^\circ=65^\circ$.
2. Połowa kąta: $|\angle BAD|=32{,}5^\circ$.
3. W trójkącie $ABD$: $|\angle ADB|=180^\circ-80^\circ-32{,}5^\circ=67{,}5^\circ$.

Odpowiedź: $67{,}5^\circ$

1. Suma kątów czworokąta to $360^\circ$.
2. $|\angle D|=360^\circ-95^\circ-78^\circ-104^\circ=83^\circ$.

Odpowiedź: $83^\circ$

1. W trapezie równoramiennym kąty przy dłuższej podstawie są równe: drugi też ma $58^\circ$.
2. Kąty przy ramieniu sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-58^\circ=122^\circ$.
3. Zatem kąty przy krótszej podstawie mają po $122^\circ$.

Odpowiedź: $58^\circ$, $122^\circ$, $122^\circ$

1. W czworokącie $BDPE$ kąty przy $D$ i $E$ są proste (wysokości).
2. Suma kątów czworokąta: $|\angle DPE|=360^\circ-90^\circ-90^\circ-52^\circ=128^\circ$.
3. Kąt ostry między wysokościami to kąt przyległy: $180^\circ-128^\circ=52^\circ$.

Odpowiedź: $52^\circ$

Wskazówka: Kąt między wysokościami jest równy kątowi trójkąta przy trzecim wierzchołku — warto to zapamiętać.

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc $|\angle ACD|=60^\circ$ oraz $|AC|=|AD|=|CD|$.
2. Kąt $BCD$ dzieli się na dwie części: $|\angle ACB|=131^\circ-60^\circ=71^\circ$.
3. Z treści $|AB|=|DA|$, a $|DA|=|AC|$, więc $|AB|=|AC|$ — trójkąt $ABC$ jest równoramienny o ramionach $AB$ i $AC$.
4. W trójkącie równoramiennym kąty leżące naprzeciw równych boków są równe, więc $|\angle ABC|=|\angle ACB|=71^\circ$.
5. (Wtedy $|\angle BAC|=180^\circ-2\cdot71^\circ=38^\circ$.)

Odpowiedź: $71^\circ$

1. Kąt zewnętrzny przy każdym wierzchołku jest przyległy do kąta wewnętrznego, więc ma miarę $180^\circ-\alpha$, $180^\circ-\beta$, $180^\circ-\gamma$.
2. Suma: $(180^\circ-\alpha)+(180^\circ-\beta)+(180^\circ-\gamma)=540^\circ-(\alpha+\beta+\gamma)$.
3. Ponieważ $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, suma kątów zewnętrznych wynosi $540^\circ-180^\circ=360^\circ$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód