Czworokąty i ich własności

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ (tworzą kąt półpełny):

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Nie mylić z dopełniającymi: te sumują się do $90^\circ$ — stąd błędna odpowiedź A.

Odpowiedź: B. $115^\circ$.

$$P=a\cdot h=12\cdot7=84\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w równoległoboku nie dzielimy przez $2$ — to wzór dla trójkąta.

Odpowiedź: C. $84$ cm$^2$.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180^\circ$:

$$\gamma=180^\circ-47^\circ-58^\circ=75^\circ$$

Kontrola: $47^\circ+58^\circ+75^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzeci kąt ma $75^\circ$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(9+15)\cdot6}{2}=\frac{144}{2}=72\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $72$ cm$^2$.

Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma jego kątów to dwukrotność sumy kątów trójkąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Wzór ogólny dla wielokąta o $n$ bokach: $(n-2)\cdot180^\circ$. Dla $n=4$ daje $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — bok. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=10\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=100\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $10$ cm, pole $100$ cm$^2$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\cdot7}{2}=\frac{70}{2}=35\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $35$ cm$^2$.

Romb ma cztery równe boki. Jego kąty są proste tylko w szczególnym przypadku — wtedy jest kwadratem.

Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami.

Odpowiedź: B. romb.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Na dwa z nich zostaje:

$$180^\circ-80^\circ=100^\circ$$

Dzielimy na dwa równe kąty:

$$100^\circ:2=50^\circ$$

Kontrola: $80^\circ+50^\circ+50^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: każdy kąt przy podstawie ma $50^\circ$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{12\cdot16}{2}=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciw siebie. Zawsze mają równe miary.

Nie mylić z kątami przyległymi, które leżą obok siebie i sumują się do $180^\circ$ (odpowiedź B).

Odpowiedź: A. są równe.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach $9$ i $12$:

$$d=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}$$

Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$.

Odpowiedź: A. $15$ cm.

Pole równoległoboku to iloczyn podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę:

$$P=a\cdot h=12\cdot5=60\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — kluczowa własność. Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, tworząc cztery przystające trójkąty prostokątne.

Krok 2 — połowa znanej przekątnej:

$$16:2=8\ \text{cm}$$

Krok 3 — druga przyprostokątna (bok rombu jest przeciwprostokątną):

$$\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$$

Krok 4 — cała druga przekątna:

$$2\cdot6=12\ \text{cm}$$

Kontrola przez pole: $\frac{16\cdot12}{2}=96$ cm$^2$; to samo pole daje $a\cdot h$, gdzie $h=9{,}6$ cm ✔

Odpowiedź: $12$ cm.

Krok 1 — drugi bok. Z obwodu $2(a+b)=46$ mamy $a+b=23$:

$$b=23-15=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=15\cdot8=120\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(15+8)=2\cdot23=46$ cm ✔

Odpowiedź: pole wynosi $120$ cm$^2$.

Krok 1 — z wzoru wyznaczamy sumę podstaw:

$$a+b=\frac{2P}{h}=\frac{120}{8}=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — druga podstawa:

$$15-7=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{(7+8)\cdot8}{2}=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

W rombie przekątne mają dwie szczególne własności: są prostopadłe i przecinają się w połowie.

Porównanie: w prostokącie przekątne połowią się, ale nie są prostopadłe; w równoległoboku też tylko się połowią. Kwadrat ma obie własności (bo jest szczególnym rombem).

Odpowiedź: D. romb.

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do obu podstaw, co daje dwa kąty proste — przy tym ramieniu.

Pozostałe dwa kąty sumują się do $180^\circ$, ale żaden nie musi być prosty.

Uwaga: gdyby wszystkie cztery kąty były proste, figura byłaby prostokątem.

Odpowiedź: D. dwa.

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Podstawiamy:

$$P=\frac{(10+6)\cdot4}{2}=\frac{16\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $32$ cm$^2$.

Krok 1 — wysokość. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $4$ i przeciwprostokątnej $8$:

$$h=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{8\cdot4\sqrt3}{2}=16\sqrt3\ \text{cm}^2$$

Kontrola wzorem: $\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$ ✔

Odpowiedź: $h=4\sqrt3\approx6{,}93$ cm, $P=16\sqrt3\approx27{,}7$ cm$^2$.

Kąt zewnętrzny i przyległy do niego kąt wewnętrzny są kątami przyległymi — sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Ciekawostka: kąt zewnętrzny równa się też sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta.

Odpowiedź: B. $70^\circ$.

Przekątne trapezu równoramiennego są równe, ale nie muszą być prostopadłe.

Prostopadłe przekątne ma romb i deltoid.

Pozostałe trzy zdania poprawnie opisują trapez równoramienny — jego osią symetrii jest prosta przechodząca przez środki obu podstaw.

Odpowiedź: C. przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Przekształcamy wzór na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2P}{h}$$

Podstawiamy:

$$a=\frac{2\cdot48}{8}=\frac{96}{8}=12\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot8}{2}=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: podstawa ma $12$ cm.

Krok 1 — model. Drabina, ściana i podłoże tworzą trójkąt prostokątny, w którym drabina jest przeciwprostokątną.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \text{m}$$

Rozpoznanie: trójka $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: na wysokości $4$ m.

Suma kątów wielokąta o $n$ bokach to $(n-2)\cdot180^\circ$, a w foremnym każdy kąt jest równy, więc kąt pojedynczy to $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

Zamiast rozwiązywać równanie — sprawdźmy pięciokąt ($n=5$):

$$\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$$

Zgadza się. To pięciokąt foremny.

Odpowiedź: C. $5$ boków.

W deltoidzie przekątne są prostopadłe, więc obowiązuje ten sam wzór co dla rombu:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{14\cdot9}{2}=63\ \text{cm}^2$$

Warto zapamiętać: wzór $\frac{ef}{2}$ działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Odpowiedź: $63$ cm$^2$.

Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy jednym z ramion).

Krok 1 — dwa kąty proste: $90^\circ$ i $90^\circ$.

Krok 2 — kąt przy drugim ramieniu. Kąty przy tym samym ramieniu trapezu leżą przy prostych równoległych, więc sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Kontrola sumy: $90^\circ+90^\circ+65^\circ+115^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty trapezu to $90^\circ$, $90^\circ$, $65^\circ$ i $115^\circ$.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o dwóch przyprostokątnych $a$:

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$$

Uwaga: $a\sqrt3$ to przekątna sześcianu o krawędzi $a$.

Odpowiedź: A. $a\sqrt2$.

Pole rombu obliczamy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=\frac{48}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Uwaga: dzielenie przez $2$ jest konieczne — pominięcie go dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $24$ cm$^2$.

Krok 1 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — druga wysokość. Pole można policzyć na dwa sposoby, więc:

$$6\cdot h=40 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{40}{6}\approx6{,}67\ \text{cm}$$

Obserwacja: wysokość opuszczona na krótszy bok jest dłuższa — to konieczne, żeby iloczyn pozostał stały.

Odpowiedź: pole $40$ cm$^2$, druga wysokość około $6{,}67$ cm.

Kwadrat łączy własności prostokąta i rombu, więc jego przekątne są równej długości (cecha prostokąta) i jednocześnie prostopadłe (cecha rombu).

Zdanie A twierdzi, że przekątne mają różne długości — to nieprawda.

Pozostałe zdania (B, C, D) są prawdziwe.

Odpowiedź: A. (zdanie fałszywe).

Sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$6^2+8^2=36+64=100=10^2 \ ✔$$

Skoro równość zachodzi, trójkąt jest prostokątny — kąt prosty leży naprzeciw najdłuższego boku.

Odpowiedź: B. prostokątny.

Długość siatki to obwód prostokąta:

$$O=2(30+18)=2\cdot48=96\ \text{m}$$

Pole działki:

$$P=30\cdot18=540\ \text{m}^2$$

Uwaga: obwód i pole to dwie różne wielkości — siatkę liczymy z obwodu (w metrach), a powierzchnię z pola (w metrach kwadratowych).

Odpowiedź: potrzeba $96$ m siatki, pole działki to $540$ m$^2$.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie. Różnica podstaw dzieli się równo na obie strony:

$$\frac{12-6}{2}=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — wysokość (ramię jest przeciwprostokątną):

$$h=\sqrt{25-9}=4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{(12+6)\cdot4}{2}=36\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — obwód:

$$O=12+6+5+5=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $h=4$ cm, $P=36$ cm$^2$, $O=28$ cm.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — wartość jednej części. Suma kątów to $180^\circ$:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — poszczególne kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Kontrola: $40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty mają $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$.

Krok 1 — droga wzdłuż boków:

$$30+40=70\ \text{m}$$

Krok 2 — przekątna:

$$d=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \text{m}$$

Krok 3 — oszczędność:

$$70-50=20\ \text{m}$$

Rozpoznanie: trójka $30$–$40$–$50$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $10$.

Odpowiedź: zaoszczędzi $20$ m.

Pole figury po wycięciu to różnica pól.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=12\cdot8=96$$

Krok 2 — pole wyciętego trójkąta:

$$P_2=\frac{12\cdot5}{2}=30$$

Krok 3 — pole zacienionej figury:

$$P=96-30=66$$

Odpowiedź: pole figury wynosi $66$ jednostek kwadratowych.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot6=60\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole łączne:

$$P=60+24=84\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — przeciwprostokątna trójkąta:

$$c=\sqrt{36+64}=10\ \text{cm}$$

Krok 5 — obwód figury. Bok stykowy ($6$ cm) leży wewnątrz, więc go nie liczymy. Obwód tworzą: dwa dłuższe boki prostokąta, jego drugi krótszy bok oraz dwa boki trójkąta:

$$O=10+10+6+8+10=44\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $84$ cm$^2$, obwód $44$ cm.

Krok 1 — warunki. Kąty dopełniające sumują się do $90^\circ$:

$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \alpha=\beta+20^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$(\beta+20^\circ)+\beta=90^\circ \quad\Rightarrow\quad 2\beta=70^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta=35^\circ$$

Krok 3 — drugi kąt:

$$\alpha=35^\circ+20^\circ=55^\circ$$

Sprawdzenie: $55^\circ+35^\circ=90^\circ$ ✔, a różnica $55^\circ-35^\circ=20^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=55^\circ$, $\beta=35^\circ$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole rombu:

$$P_2=a\cdot h=6\cdot3=18\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{36}{18}=2$$

Kwadrat ma pole dwa razy większe.

Wyjaśnienie. Obie figury mają identyczne boki i ten sam obwód ($24$ cm), ale różne pola. Romb jest „spłaszczony" — im mniejszy kąt ostry, tym mniejsza wysokość, a więc i pole. Kwadrat to romb o kącie $90^\circ$, czyli przypadek o największym możliwym polu przy danym boku.

Wniosek ogólny: równy obwód nie oznacza równego pola.

Odpowiedź: kwadrat $36$ cm$^2$, romb $18$ cm$^2$ — dwukrotna różnica.