Równania i nierówności wymierne — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Zasada: dziedzinę wyznaczamy przed rozwiązaniem — to pierwszy krok każdego zadania z ułamkiem zawierającym niewiadomą.

Odpowiedź: C. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$6=3x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq0$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x^2-9\neq0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)\neq0$$

Krok 2 — wykluczamy oba pierwiastki:

$$x\neq3 \quad\text{i}\quad x\neq-3$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$$

Uwaga: rozkład mianownika na czynniki ujawnia oba miejsca zerowe — łatwo przeoczyć jedno, patrząc tylko na $x^2=9$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$.

Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem, a mianownik różny od zera:

$$x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Dla $x=2$ mianownik wynosi $7\neq0$, więc warunek jest spełniony.

Uwaga: $x=-5$ zeruje mianownik — to punkt wykluczony z dziedziny, a nie rozwiązanie.

Odpowiedź: B. $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem:

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $-3\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=-3$.

Licznik $3$ jest dodatni, więc znak ułamka zależy tylko od mianownika. Ułamek jest dodatni, gdy mianownik jest dodatni:

$$x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Odpowiedź: A. $x>2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy $\frac13$ na prawo:

$$\frac{2}{x}=1-\frac13=\frac23$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot3=2\cdot x \quad\Rightarrow\quad 6=2x \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac23+\frac13=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $4\neq2$ ✔

Uwaga na pułapkę. Gdyby wyszło $x=2$, trzeba by je odrzucić jako sprzeczne z dziedziną. Tutaj $x=4$ jest poprawne.

Odpowiedź: $x=4$.

Licznik jest dodatni, więc ułamek jest dodatni tylko dla dodatniego mianownika:

$$x>0$$

Uwaga: dla $x\lt 0$ ułamek jest ujemny, a $x=0$ jest wykluczone z dziedziny.

Odpowiedź: D. $x>0$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — miejsca zerowe licznika i mianownika:

$$x=3 \quad\text{(licznik)},\qquad x=-1 \quad\text{(mianownik)}$$

Krok 3 — analiza znaków w przedziałach. Ułamek ma znak iloczynu $(x-3)(x+1)$, bo dzielenie i mnożenie dają ten sam wzór znaków:

• $x\lt -1$: $(-)(-)=+$ ✔
• $-1\lt x\lt 3$: $(-)(+)=-$
• $x>3$: $(+)(+)=+$ ✔

Krok 4 — zbiór rozwiązań:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$

Kluczowa sztuczka. Nierówność $\frac{L}{M}>0$ ma to samo rozwiązanie co $L\cdot M>0$ — zamieniamy dzielenie na mnożenie, bo obie operacje dają ten sam znak.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

Mnożenie nierówności przez wyrażenie zmiennego znaku jest niebezpieczne — nie wiadomo, czy odwrócić znak nierówności.

Dlatego nierówności wymierne rozwiązujemy inaczej: przenosimy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i badamy znak ilorazu (równoważnie iloczynu licznika i mianownika).

Wyjątek: gdy mianownik ma stały znak (np. $x^2+1>0$ zawsze), można mnożyć bezpiecznie.

Odpowiedź: B. tylko przez wyrażenie o znanym znaku.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$1\cdot(x+1)=2\cdot(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x+1=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 3=x$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq\pm1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — dziedzina:

$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Zerujemy licznik:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki należą do dziedziny ($\neq3$), więc oba są miejscami zerowymi.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$; miejsca zerowe $x=-2$ i $x=2$.

Licznik $2$ jest dodatni, więc ułamek jest ujemny tylko dla ujemnego mianownika:

$$x\lt 0 \quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty,0)$$

Odpowiedź: C. $x\lt 0$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — łączymy ułamki o wspólnym mianowniku:

$$\frac{x+1}{x-1}=3$$

Krok 3 — mnożymy przez $(x-1)$:

$$x+1=3(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+1=3x-3$$

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$4=2x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 5 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Rozkładamy mianownik:

$$x^2-x=x(x-1)$$

Zeruje się dla $x=0$ oraz $x=1$ — oba punkty są wykluczone z dziedziny.

Uwaga: $x=-1$ zeruje licznik, ale to dozwolone — daje po prostu miejsce zerowe, a nie punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: A. $0$ i $1$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewa strona na wspólnym mianowniku:

$$\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$6(2x+1)=5\left(x^2+x\right)$$

Krok 4 — porządkujemy do równania kwadratowego:

$$12x+6=5x^2+5x \quad\Rightarrow\quad 5x^2-7x-6=0$$

Krok 5 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=49+120=169,\qquad \sqrt{\Delta}=13$$

$$x_1=\frac{7-13}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{7+13}{10}=2$$

Krok 6 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki są różne od $0$ i $-1$, więc oba są poprawne.

Odpowiedź: $x=-\frac35$ lub $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$x=-2 \ \text{(licznik)},\qquad x=1 \ \text{(mianownik)}$$

Krok 3 — znak ilorazu w przedziałach:

• $x\lt -2$: $\frac{(-)}{(-)}=+$
• $-2\lt x\lt 1$: $\frac{(+)}{(-)}=-$ ✔
• $x>1$: $\frac{(+)}{(+)}=+$

Krok 4 — uwzględniamy równość. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc dołączamy miejsce zerowe licznika $x=-2$. Ale $x=1$ wykluczamy — tam mianownik się zeruje.

$$x\in\langle-2,\ 1)$$

Kluczowa różnica. Pierwiastek licznika może być domknięty (ułamek równy zeru jest dozwolony przy $\le$), ale pierwiastek mianownika nigdy — to punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\ 1)$.

Krok 1 — wydajności. W ciągu jednego dnia pierwsza ekipa wykonuje $\frac16$ pracy, druga $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — równanie. Niech $x$ to liczba dni wspólnej pracy. Razem wykonają całość, czyli $1$:

$$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $12$:

$$2x+x=12 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Kontrola sensu. Wspólny czas ($4$ dni) musi być krótszy od czasu szybszej ekipy ($6$ dni) — i jest ✔

Typ zadania. To klasyczne „zadanie o wspólnej pracy” — dodajemy wydajności (odwrotności czasów), a nie same czasy.

Odpowiedź: $4$ dni.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$x^2+1=x$$

Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-x+1=0$$

Krok 4 — badamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3\lt 0$$

Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$

Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.