Zadanie 20 Równania i nierówności wymierne — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$x^2+1=x$$

Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-x+1=0$$

Krok 4 — badamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3\lt 0$$

Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$

Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.