Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kwadracików.
Nasz prostokąt ma wymiary \(10\times4\), zatem wszystkich kwadracików mamy:
$$10\cdot4=40$$

Krok 2. Obliczenie liczby kwadracików niezamalowanych i zamalowanych.
Podejdźmy do tego zadania nieco sprytniej. Widzimy wyraźnie, że pomalowanych kawałków jest znacznie więcej niż niepomalowanych, więc policzmy ile kawałków jest niezamalowanych. Zwróć uwagę na to, że dwie połówki dają tak naprawdę jeden cały kwadracik:


Widzimy wyraźnie, że niezamalowanych kwadracików jest \(14\), a to oznacza, że zamalowanych kwadracików mamy:
$$40-14=26$$

Krok 3. Obliczenie jaki procent prostokąta został zamalowany.
Zamalowano \(26\) z \(40\) kwadracików, zatem zamalowano:
$$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65\%$$

W tym zadaniu niezłą podpowiedzią jest sam sposób zapisania odpowiedzi \(ABCD\). Widzimy, że są one zapisane w formie potęg, co powinno nam zasugerować, że wszystkie te liczby mając coś wspólnego z potęgowaniem. Po analizie tabelki powinniśmy dostrzec, że:
$$1=1^2 \           ,\
8=2^3 \           ,\
9=3^2 \           ,\
64=4^3 \           ,\
... \           ,\
216=6^3$$

Widzimy, że zasada dopisywania kolejnych liczb jest następująca: podstawa potęgi zwiększa się o \(1\), a wykładniki potęg to naprzemiennie \(2\) oraz \(3\). To oznacza poszukiwaną przez nas liczba będzie \(5^2\).

Wiemy, że temperatura w sobotę jest średnią arytmetyczną temperatur z pozostałych sześciu dni, zatem:
$$średnia=\frac{19+21+26+27+28+23}{6} \           ,\
średnia=\frac{144}{6} \           ,\
średnia=24$$

To oznacza, że w sobotę odnotowano temperaturę \(24°C\).

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na samym początku musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(km\), a druga w \(cm\).

Odległość \(150km\) to \(150\;000m\), czyli \(15\;000\;000cm\).
Skoro mapa pomniejsza rzeczywistą odległość \(600\) tysięcy razy, to odcinek ten na mapie będzie miał długość:
$$\require{cancel}150\cancel{00000}cm:6\cancel{00000}=25cm$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj także musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(m\), a druga w \(cm\).

Długość \(28m\) to \(2800cm\).
Skoro długość \(2800cm\) jest reprezentowana na mapie przez odcinek o długości \(3,5cm\), to znaczy że mapa pomniejsza nam obiekt \(2800:3,5=800\) razy. Z tego też względu skala mapy będzie równa \(1:800\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Aby dowiedzieć się, czy punkt \(B\) należy do koła, to musimy sprawdzić jaka jest odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\). Jeżeli ta odległość jest mniejsza lub równa promieniowi koła, to punkt \(B\) będzie leżeć w kole. Jeżeli ta odległość jest większa od długości promienia, to punkt \(B\) będzie poza kołem.

Aby obliczyć długość odcinka \(AB\) możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:


Nasz odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych równych \(3\), zatem:
$$3^2+3^2=|AB|^2 \           ,\
9+9=|AB|^2 \           ,\
|AB|^2=18 \           ,\
|AB|=\sqrt{18} \quad\lor\quad |AB|=-\sqrt{18}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka jest na pewno dodatnia, zatem wiemy już, że \(AB=\sqrt{18}\). Na upartego moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przez znak pierwiastka i zapisać, że \(AB=3\sqrt{2}\), ale nie jest to konieczne, bo postać \(\sqrt{18}\) będzie dla nas za chwilę bardzo pożyteczna.

Krok 2. Ustalenie, czy punkt \(B\) leży w kole.
Promień naszego koła to \(r=4\). Odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\) wynosi \(\sqrt{18}\). Powinniśmy dostrzec, że \(\sqrt{18}\) jest na pewno większy od \(4\). Skąd to wiemy? Po prostu \(\sqrt{16}=4\), więc \(\sqrt{18}\) musi być większy od \(4\). To oznacza, że punkt \(B\) znajduje się poza kołem.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania.
Skoro stosunek długości sąsiednich boków wynosi \(2:5\), to możemy wprowadzić do zadania następujące oznaczenia:
\(2x\) - długość krótszego boku
\(5x\) - długość dłuższego boku

Obwód prostokąta wyliczamy dodając przez siebie długości wszystkich boków, zatem:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98$$

Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta.
Powstało nam proste równanie liniowe, które musimy teraz rozwiązać:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98 \           ,\
4x+10x=98 \           ,\
14x=98 \           ,\
x=7[cm]$$

Teraz musimy spojrzeć na nasze oznaczenia i obliczyć długości poszczególnych boków. Krótszy bok ma długość \(2x\), czyli będzie miał on \(2\cdot7cm=14cm\). Dłuższy bok ma długość \(5x\), czyli będzie to \(5\cdot7cm=35cm\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostokąta.
Na sam koniec musimy obliczyć jeszcze pole powierzchni prostokąta, zatem:
$$P=ab \           ,\
P=14cm\cdot35cm \           ,\
P=490cm^2$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy liczyć, to narysujmy sobie szkic tej całej sytuacji, zaznaczając przy okazji kluczowy kąt \(120°\):


Zwróćmy uwagę na to, że powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\). To właśnie on będzie kluczem do rozwiązania tego zadania. Musimy też zauważyć, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), bowiem w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części, a podstawa była równa \(10\).

Krok 2. Obliczenie promienia koła.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że jeżeli przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) ma długość \(a\), to druga przyprostokątna ma długość \(a\sqrt{3}\), a przeciwprostokątna ma długość \(2a\).


Zgodnie z naszymi oznaczeniami widzimy, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), zatem:
$$a\sqrt{3}=5 \           ,\
a=\frac{5}{\sqrt{3}}$$

Nas interesuje długość przeciwprostokątnej, czyli długość \(2a\). W związku z tym:
$$r=2a=2\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}$$

Otrzymana odpowiedź jest już poprawna, ale powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, a zrobimy to mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\), zatem:
$$r=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Krok 1. Obliczenie ceny promocyjnej pierwszej książki.
Najpierw obliczmy promocyjną cenę pierwszej książki. Wiemy, że pięć książek zakupionych po promocyjnej cenie kosztuje \(152zł\). Skoro tak, to taka pojedyncza książka kosztuje:
$$152zł:5=30,40zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny pierwszej książki (przed promocją).
Wiemy, że pierwszy tytuł w promocji kosztuje \(30,40zł\). Promocyjna cena jest o \(20\%\) niższa od początkowej. To oznacza, że cena promocyjna stanowi \(80\%\) ceny początkowej. Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(80\%\) ceny początkowej jest równe \(30,40zł\)
To \(10\%\) ceny początkowej jest równe \(3,80zł\)
Więc \(100\%\) ceny początkowej jest równe \(38zł\)

Ewentualnie moglibyśmy przyjąć, że \(x\) to początkowa cena pierwszej książki i zapisać, że:
$$0,8x=30,40zł \           ,\
x=38zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny drugiej książki (przed promocją).
Wiemy już, że pierwsza książka kosztuje \(38zł\). Koszt zakupu pierwszej i drugiej książki wynosi \(82zł\), zatem druga książka kosztuje:
$$82zł-38zł=44zł$$

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podłogi w pierwszym mieszkaniu.
Wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono już \(24m^2\) nowej podłogi i że jest to \(\frac{3}{8}\) powierzchni podłogi całego mieszkania. Jeżeli więc oznaczymy sobie jako \(x\) pole powierzchni podłogi pierwszego mieszkania, to otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{3}{8}x=24m^2 \           ,\
\frac{1}{8}x=8m^2 \           ,\
x=64m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podłogi w drugim mieszkaniu.
Skoro suma podłóg w pierwszym i drugim mieszkaniu jest równa \(159m^2\), a nasze pierwsze mieszkanie ma \(64m^2\) podłóg, to drugie mieszkanie będzie mieć:
$$159m^2-64m^2=95m^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni podłogi, która jest już wyłożona w pierwszym i drugim mieszkaniu.
Z treści zadania wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono \(24m^2\) nowej podłogi. Policzmy teraz ile podłogi wyłożono w drugim mieszkaniu.

Wiemy, że w drugim mieszkaniu firmie remontowej zostało do wyłożenia \(3,8m\times5m\), czyli zostało im do wyłożenia:
$$3,8m\cdot5m=19m^2$$

Skoro całe mieszkanie ma \(95m^2\), a do wyłożenia zostało im \(19m^2\), to wyłożono już:
$$95m^2-19m^2=76m^2$$

To oznacza, że w pierwszym i drugim mieszkaniu wyłożono łącznie:
$$24m^2+76m^2=100m^2$$

Krok 4. Zakończenie zadania.
Pytają się nas, czy firma zdołała już wyłożyć podłogę na \(\frac{2}{3}\) powierzchni w obu mieszkaniach. Wiemy, że firma wyłożyła \(100m^2\) ze \(159m^2\), czyli wyłożyła \(\frac{100}{159}\) metrów kwadratowych podłogi. Ułamek \(\frac{100}{159}\) jest na pewno mniejszy od \(\frac{2}{3}\), bowiem \(\frac{2}{3}=\frac{100}{150}\) lub jak kto woli \(\frac{2}{3}=\frac{106}{159}\). To oznacza, że firma wyłożyła mniej niż \(\frac{2}{3}\) podłóg.

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z własności rombów wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w połowie swojej długości. To oznacza, że otrzymamy następującą sytuację:


Powstały nam na rysunku trójkąty prostokątne z których możemy obliczyć długość boku rombu. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+12^2=x^2 \           ,\
25+144=x^2 \           ,\
x^2=169 \           ,\
x=13 \quad\lor\quad x=-13$$

Bok rombu jest na pewno liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(x=13\).

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wynika, że ostrosłup ma wysokość dwa razy dłuższą od boku rombu. Skoro więc bok rombu miał długość \(13cm\), to wysokość będzie równa:
$$H=2\cdot13cm \           ,\
H=26cm$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Znamy długości przekątnych rombu, zatem możemy bez przeszkód obliczyć jego pole powierzchni, które jednocześnie będzie polem podstawy ostrosłupa:
$$P_{p}=\frac{1}{2}ef \           ,\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot24 \           ,\
P_{p}=5\cdot24 \           ,\
P_{p}=120[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że \(P_{p}=120cm^2\) oraz że \(H=26cm\), zatem objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot120cm^2\cdot26cm \           ,\
V=40cm^2\cdot26cm \           ,\
V=1040cm^3$$