Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.
Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 \           ,\
x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1 \           ,\
x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1 \           ,\
x=\sqrt{2}+1$$

Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$

Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:
$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$

Najprostszą metodą do określenia który z tych logarytmów jest największy będzie po prostu obliczenie wartości każdego z nich oddzielnie:
$$a=log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3\cdot log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3 \           ,\
b=log_{4}8=log_{4}2^3=3\cdot log_{4}2=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \           ,\
c=log_{4}\frac{1}{2}=log_{4}2^{-1}=-1\cdot log_{4}2=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Szeregując te liczby od największej do najmniejszej otrzymamy: \(b\gt c\gt a\).

Dana liczba będzie spełniać nierówność wtedy, kiedy po podstawieniu tej liczby otrzymamy prawidłową zależność. Musimy więc podstawić do nierówności po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(x=5\)
\((4-5)(5+3)(5+4)\gt0 \           ,\
-1\cdot8\cdot9\gt0 \           ,\
-72\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. B. \(x=16\)
\((4-16)(16+3)(16+4)\gt0 \           ,\
-12\cdot19\cdot20\gt0 \           ,\
-4560\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. C. \(x=-4\)
\((4-(-4)(-4+3)(-4+4)\gt0 \           ,\
8\cdot(-1)\cdot0\gt0 \           ,\
0\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. D. \(x=-2\)
\((4-(-2))(-2+3)(-2+4)\gt0 \           ,\
6\cdot1\cdot2\gt0 \           ,\
12\gt0\)
Nierówność jest prawdziwa.

To oznacza, że z proponowanych odpowiedzi tylko \(x=-2\) spełniała naszą nierówność.

\(x\) - cena komputera przed obniżkami
\(x-0,1x=0,9x\) - cena komputera po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena komputera po drugiej obniżce

Z treści zadania wynika, że po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli:
$$0,81x=1944zł \           ,\
x=2400zł$$

To oznacza, że przed obniżkami komputer kosztował \(2400zł\).

Z rysunku (i samej formy zapisu przedziału) możemy odczytać, że \(-10\) do tego przedziału nie należy. Pierwszą liczbą całkowitą, która do tego przedziału należy jest \(-9\).

W tym momencie powinniśmy zauważyć, że na pewno suma liczb całkowitych od \(-9\) do \(9\) jest równa zero. Wynika to z tego, że po prostu skrajne wyrazy się zerują: \(-9+9=0, -8+8=0, -7+7=0\) itd.
$$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$

My szukamy sumy liczb całkowitych równej \(21\). Skoro więc suma od \(-9\) do \(9\) jest równa \(0\), to widzimy wyraźnie że dokładając kolejne liczby całkowite, czyli \(10\) oraz \(11\) otrzymamy poszukiwaną sumę równą \(21\). To oznacza, że ostatnią liczbą należącą do tego przedziału jest \(k=11\).

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym:
$$2x+1\neq0 \           ,\
2x\neq-1 \           ,\
x\neq-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \           ,\
x\cdot(2x+1)-1=0 \           ,\
2x^2+x-1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).

Musimy na kalkulatorze podzielić \(224\) przez \(1111\) i sprawdzić jaki będzie okres naszego ułamka dziesiętnego. Wykonując to dzielenie otrzymamy:
$$224:1111=0,20162016...=0,(2016)$$

Teraz musimy ustalić jaka cyfra będzie na dwudziestym miejscu po przecinku. Widzimy wyraźnie, że okres ułamka składa się z czterech liczb, dlatego czwartą, ósmą, dwunastą, szesnastą i w konsekwencji dwudziestą liczbą po przecinku będzie \(6\).

Wykonując działania na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}=\frac{(2^3)^{20}-2\cdot(2^2)^{20}}{2^{20}\cdot (2^2)^{10}}= \           ,\
\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}= \           ,\
\frac{2^{40}\cdot(2^{20}-2)}{2^{40}}=2^{20}-2$$

Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \           ,\
f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \           ,\
f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \           ,\
f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \           ,\
f(2)=-\frac{2}{4} \           ,\
f(2)=-\frac{1}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \           ,\
f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$

To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).

Aby funkcja nie miała miejsc zerowych to musi to być prosta równoległa do osi iksów, która będzie się znajdować nad lub pod tą osią. Będziemy więc chcieli otrzymać wzór funkcji typu np. \(y=3\) albo \(y=-4\), czyli będziemy chcieli otrzymać tak zwaną funkcję stałą. To z kolei oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być w tym przypadku równy \(0\). W funkcji liniowej z treści zadania \(a=1-m^2\), zatem:
$$1-m^2=0 \           ,\
m^2=1 \           ,\
m=1 \quad\lor\quad m=-1$$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa znajdują się w naszych odpowiedziach. To oznacza, że prawdopodobnie jedno z tych rozwiązań daje nam prostą idealnie pokrywającą się z osią iksów i to rozwiązanie będziemy musieli odrzucić. Podstawmy zatem \(m=1\) oraz \(m=-1\) i sprawdźmy, którą z tych odpowiedzi trzeba odrzucić.

Dla \(m=1\):
$$y=(1-1^2)x+1-1 \           ,\
y=(1-1)x+0 \           ,\
y=0x+0 \           ,\
y=0$$

Otrzymaliśmy prostą \(y=0\), która pokrywa się z osią iksów. To rozwiązanie musimy więc odrzucić, bo ta prosta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Dla \(m=-1\):
$$y=(1-(-1)^2)x+(-1)-1 \           ,\
y=(1-1)x-1-1 \           ,\
y=0x-2 \           ,\
y=-2$$

Tym razem otrzymaliśmy prostą równoległą do osi iksów, która znajduje się pod tą osią. To jest rozwiązanie przez nas poszukiwane, zatem możemy powiedzieć że funkcja \(f(x)\) nie ma miejsc zerowych dla \(m=-1\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem bardzo szybko wyznaczymy z niej miejsca zerowe, przyrównując wartości z nawiasów do zera:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=3$$

To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie albo C, albo D.

Krok 2. Wyznaczenie kierunku ułożenia ramion paraboli.
Cała trudność tego zadania opiera się na tym by określić, czy ramiona tej paraboli są skierowane do góry, czy do dołu. O tym jak są ułożone ramiona decyduje współczynnik kierunkowy \(a\). Zazwyczaj w postaci iloczynowej znak współczynnika kierunkowego \(a\) jest dość prosty do określenia w pamięci, natomiast tutaj można nabrać sporych wątpliwości, bo nie dość że przed nawiasami mamy minusa, to jeszcze w drugim nawiasie przed samym iksem znajduje się minus. Dlatego najlepiej jest po prostu wymnożyć przez siebie te nawiasy i sprawdzić co znajdzie się bezpośrednio przed \(x^2\).
$$-(x-1)(3-x)=-(3x-x^2-3+x)=-3x+x^2+3-x=x^2-4x+3$$

To oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a=1\), czyli ramiona paraboli muszą być skierowane do góry. W związku z tym prawidłowa jest odpowiedź D.

Wiedząc, że \(q=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) możemy równanie z treści zadania rozpisać w następujący sposób:
$$3a_{2}=2a_{3} \quad\bigg/:a_{2} \           ,\
3=\frac{2a_{3}}{a_{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \           ,\
\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2} \           ,\
q=\frac{3}{2}$$

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie liczba znajdująca się przed \(n\). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów, to możemy po prostu obliczyć wartość np. pierwszego oraz drugiego wyrazu (podstawiając \(n=1\) oraz \(n=2\)) i z nich wyznaczyć różnicę:
$$a_{1}=16-\frac{1}{2}\cdot1=16-\frac{1}{2}=15\frac{1}{2} \           ,\
a_{2}=16-\frac{1}{2}\cdot2=16-1=15$$

Teraz znając wartości dwóch wyrazów możemy bez przeszkód obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=15-15\frac{1}{2} \           ,\
r=-\frac{1}{2}$$

Z tablic matematycznych możemy odczytać, że \(tg40°\approx0,8391\). W związku z tym:
$$1-tg40°=1-0,8391=0,1609$$

To oznacza, że otrzymany wynik jest większy od \(0,1\), ale mniejszy od \(0,5\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Odcinki \(OC\) oraz \(BC\) są na pewno sobie równe, a to dlatego że mają długość promienia okręgu. Skoro więc z założeń zapisanych w treści zadania wynika, że odcinek \(BC\) jest równy odcinkowi \(OB\), to znaczy że trójkąt \(OBC\) jest równoboczny:



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Skoro trójkąt \(OBC\) jest równoboczny, to znaczy że wszystkie jego kąty mają miarę \(60°\). Jeden z kątów tego trójkąta (a dokładniej kąt \(COB\)) jest kątem przyległym do kąta \(AOC\). Skoro suma kątów przyległych jest równa \(60°\), to oznacza, że:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-60°=120°$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sin120°\).
Do obliczenia pola powierzchni trójkąta \(AOC\) będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$

W związku z tym za chwilę będziemy potrzebować wartości \(sin120°\), a tej nie ma zapisanej w tablicach matematycznych. Musimy więc skorzystać ze wzorów redukcyjnych np.:
$$sin(90°+α)=cosα \           ,\
sin120°=sin(90°+30°)=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(AOC\).
Teraz możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. W naszym przypadku \(a=r\) oraz \(b=r\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sin120° \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\
P=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości między środkami okręgów.
Znamy współrzędne obydwu punktów. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zatem zapisać, że:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{S_{2}}-x_{S_{1}})^2+(y_{S_{2}}-y_{S_{1}})^2} \           ,\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2} \           ,\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{3^2+4^2} \           ,\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{9+16} \           ,\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{25} \           ,\
|S_{1}S_{2}|=5$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia małego okręgu.
Z rysunku widzimy, że odcinek \(S_{1}S_{2}\) jest sumą długości promieni małego i dużego okręgu. Skoro promień dużego okręgu ma miarę \(R=4\), to:
$$|S_{1}S_{2}|=r+R \           ,\
5=r+R \           ,\
5=r+4 \           ,\
r=1$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Korzystając z własności trapezu równoramiennego możemy narysować taką oto sytuację:



Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+h^2=13^2 \           ,\
25+h^2=169 \           ,\
h^2=144 \           ,\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Z racji tego iż wysokość nie może być ujemna, to zostaje nam \(h=12\).

Skoro kąty w czworokącie mają stosunek miar równy \(4:3:3:2\) to możemy zapisać, że miary tych kątów są równe:
\(4x,3x,3x,2x\). Suma miar kątów w czworokącie jest równa zawsze \(360°\), zatem:
$$4x+3x+3x+2x=360° \           ,\
12x=360° \           ,\
x=30°$$

Najmniejszy kąt ma miarę \(2x\), czyli \(2\cdot30°=60°\).

Objętość walca możemy wyliczyć ze wzoru:
$$V=πr^2\cdot H$$

Z treści zadania wynika, że \(H=r\), zatem:
$$V=πr^2\cdot r \           ,\
V=πr^3 \           ,\
27π=πr^3 \           ,\
27=r^3 \           ,\
r=3$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie stożek, zaznaczając na nim kąt \(α\) którego tangens będziemy musieli wyznaczyć:



To oznacza, że \(tgα=\frac{H}{r}\).

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że stożek oraz kula mają jednakowy promień, a ich objętości są sobie równe, zatem:
$$\frac{1}{3}πr^2H=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:πr^2 \           ,\
\frac{1}{3}H=\frac{4}{3}r \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
H=4r \           ,\
\frac{H}{r}=4$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy, że \(tgα=\frac{H}{r}\), zatem \(tgα=4\).

Krok 1. Obliczenie liczby książek przeczytanych przez ankietowanych.
Zgodnie z informacjami w tabelce liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$23\cdot0+14\cdot1+28\cdot2+17\cdot3+11\cdot4+7\cdot5= \           ,\
=0+14+56+51+44+35=200$$

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Skoro \(100\) osób przeczytało \(200\) książek, to średnia liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$\frac{200}{100}=2$$

Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Wiemy, że suma krawędzi i wierzchołków jest równa \(15\), zatem:
$$3n+2n=15 \           ,\
5n=15 \           ,\
n=3$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się trójkąt. Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, liczba krawędzi będzie równa \(3n\), czyli \(3\cdot3=9\).

Ustalmy na ile sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby.
Pierwszą cyfrę możemy wpisać na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Drugą cyfrę możemy wpisać także na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Trzecią cyfrę możemy wpisać również na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Czwartą cyfrę możemy wpisać na \(3\) sposoby: \(\{4,6,8\}\), bo musi być to liczba parzysta

W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia możemy takich liczb utworzyć:
$$8\cdot8\cdot8\cdot3$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W każdym losowaniu możemy trafić na jedną z dwóch kul: czarną lub białą. Skoro więc losujemy kule czterokrotnie, to wszystkich możliwych kombinacji losowania mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie dokładnie trzech białych kul. To oznacza, że sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(b,b,b,c), (b,b,c,b), (b,c,b,b), (c,b,b,b)$$

Są to więc tylko cztery takie przypadki, zatem możemy zapisać, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej lub iloczynowej.
Aby przystąpić do rozwiązania tej nierówności to musimy zapisać ją w postaci iloczynowej lub ogólnej, tak aby móc obliczyć miejsca zerowe. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej jest proste - wystarczy wymnożyć to co jest w nawiasie i uprościć otrzymane wyrażenia:
$$2x(1-x)+1-x\lt0 \           ,\
2x-2x^2+1-x\lt0 \           ,\
-2x^2+x+1\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając już postać ogólną możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli tych które znajdują się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować parabolę, której osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=7\):



Z rysunku wynika, że skoro osią symetrii jest prosta \(x=7\), to musi ona przechodzić przez wierzchołek. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=7\).

Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Współrzędną iksową wierzchołka obliczamy ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Wartość współczynnika \(a\) jest znana i wynosi \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie ma żadnej liczby). W związku z tym jesteśmy w stanie obliczyć wartość współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
7=\frac{-b}{2\cdot1} \           ,\
7=\frac{-b}{2} \           ,\
14=-b \           ,\
b=-14$$

Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków w wartości \(y=4\), to współczynnik \(c=4\). Tak się składa, że punkt \(A\) jest właśnie miejscem przecięcia się paraboli z osią igreków (bo ma współrzędną iksową równą \(0\)). W związku z tym możemy zapisać, że \(c=-5\).

Jeżeli o tej własności nie pamiętamy, to do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-14x+c\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=0\) oraz \(y=-5\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=x^2-14x+c \           ,\
-5=0^2-14\cdot0+c \           ,\
-5=0+0+c \           ,\
c=-5$$

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Ustalmy na początek co to znaczy, że liczba podzielna przez \(8\) daje resztę równą \(6\). To oznacza, że całą liczbę da się zapisać w postaci typu \(8\cdot k+6\), gdzie \(k\) będzie jakimś wyrażeniem składającym się z liczb naturalnych. Wtedy jak podzielimy wyrażenie \(8k+6\) przez \(8\) to otrzymamy wynik równy \(k\) i reszta \(6\).

Skoro interesują nas tylko liczby naturalne, to możemy zapisać, że czterema kolejnymi liczbami naturalnymi są: \(n, n+1, n+2, n+3\). Teraz zgodnie z treścią polecenia będziemy chcieli obliczyć sumę kwadratów tych czterech liczb, czyli będziemy chcieli obliczyć:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2$$

I z takiej postaci też dojdziemy do końcowego rozwiązania, ale będzie ono dość żmudne i długie. Tutaj powinniśmy wpaść na pomysł, żeby za kolejne liczby naturalne przyjąć: \(n-1, n, n+1, n+2\). Co nam da takie zapisanie? Teraz po prostu więcej rzeczy (zwłaszcza z pary \(n-1\) oraz \(n+1\)) zacznie nam się skracać, co znacznie uprości obliczenia.

Krok 2. Obliczenie sumy kwadratu czterech kolejnych liczb.
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami możemy zapisać, że:
$$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \           ,\
=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \           ,\
=4n^2+4n+6= \           ,\
=4n(n+1)+6$$

Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku i zakończenie dowodzenia.
Musimy teraz udowodnić, że \(4n(n+1)\) jest liczbą podzielną przez \(8\). Póki co to wiemy, że jest na pewno podzielne przez \(4\), bo przed nawiasem mamy właśnie czwórkę. Jeżeli to udowodnimy, to zadanie można uznać za skończone, bo liczba podzielna przez \(8\) powiększona o \(6\), da nam rzeczywiście resztę równą \(6\) po dzieleniu przez \(8\).

Zauważmy, że \(n(n+1)\) jest to jest po prostu mnożenie dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n\cdot(n+1)\). Skoro tak jedna z tych liczb (\(n\) lub \(n+1)\) jest nieparzysta, a jedna (\(n\) lub \(n+1)\) jest parzysta. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej da wynik parzysty. W związku z tym iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli możemy zapisać, że:
$$n(n+1)=2\cdot k$$

Wracając teraz do naszego wyniku, jeżeli podstawimy pod \(n(n+1)\) wartość \(2k\), to otrzymamy:
$$4n(n+1)+6=4\cdot2k+6=8k+6$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że ta liczba po podzieleniu przez \(8\) daje wynik równy \(k\) i reszta \(6\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy na nasz rysunek pewne oznaczenia. Oznaczmy odcinek \(DE\) jako \(x\), a co za tym idzie odcinek \(EC\) jako \(2x\). Z treści zadania wynika, że odcinek \(BF\) jest równy odcinkowi \(DE\), czyli tutaj także mamy długość \(x\). Dodatkowo oznaczmy już inną niewiadomą boki \(AD\) oraz \(BC\), które mają jednakową miarę (niech to będzie niewiadoma \(y\)), no i niech kluczowy bok \(BP\) ma miarę \(z\).



Naszym zadaniem jest udowodnienie, że trójkąty \(AED\) oraz \(FPB\) są przystające, a skoro mają taką samą podstawę równą \(x\) to musimy tak naprawdę udowodnić, że \(y=z\) (tylko wtedy będą to trójkąty przystające).

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(PCE\) oraz \(PBF\).
Trójkąty \(PCE\) oraz \(PBF\) są na pewno podobne (mają jednakowe miary kątów). Skoro więc trójkąt \(PCE\) ma podstawę równą \(2x\), a trójkąt \(PBF\) ma podstawę dwukrotnie mniejszą, bo równą \(x\), to znaczy że także odcinek \(PC\) musi być dwukrotnie dłuższy od odcinka \(PB\) (czyli skala podobieństwa jest równa \(2\)). Zatem:
$$|PC|=2|PB| \           ,\
y+z=2z \quad\bigg/-z \           ,\
y=z$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że długość \(y\) jest równa długości \(z\). To oznacza, że trójkąty \(AED\) oraz \(FPB\) mają jednakowe długości przyprostokątnych, zatem i przeciwprostokątne muszą mieć tą samą długość. Skoro więc obydwa trójkąty mają boki jednakowych miar, to są to trójkąty przystające.

Krok 1. Rozpisanie wartości poszukiwanego wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\). W związku z tym:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{1}{\frac{sinα}{cosα}}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}= \           ,\
=\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}= \           ,\
=\frac{sin^2α}{sinα\cdot cosα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}= \           ,\
=\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{sinα\cdot cosα}$$

Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα\cdot cosα\).
W mianowniku pojawiła nam się wartość \(sinα\cdot cosα\). Musimy wyznaczyć jej wartość, tak aby dokończyć obliczenia. Tę wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej i informacji zawartej w treści zadania, że \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$sinα+cosα=\sqrt{2} \quad\bigg/^2 \           ,\
(sinα+cosα)^2=2 \           ,\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2 \           ,\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=2 \           ,\
1+2sinαcosα=2 \           ,\
2sinαcosα=1 \           ,\
sinαcosα=\frac{1}{2}$$

Krok 3. Dokończenie obliczeń.
Skoro już wiemy, że \(sinαcosα=\frac{1}{2}\), to możemy dokończyć obliczenia z kroku pierwszego:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1:\frac{1}{2}=1\cdot2=2$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Za każdym razem rzucając monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych będzie \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której orłów jest więcej niż reszek. Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(O,O,O,O), (O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)$$

Widzimy, że takich zdarzeń jest dokładnie pięć, więc możemy zapisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:



Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.
Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$cosα=\frac{b}{c} \           ,\
\frac{3}{5}=\frac{b}{c} \           ,\
b=\frac{3}{5}c$$

Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$b^2+H^2=c^2 \           ,\
\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2 \           ,\
\frac{9}{25}c^2+256=c^2 \           ,\
\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16} \           ,\
c^2=400 \           ,\
c=20 \quad\lor\quad c=-20$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).

Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.
Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:
$$b=\frac{3}{5}\cdot20 \           ,\
b=12$$

Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:
$$d=2b \           ,\
d=2\cdot12 \           ,\
d=24$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:
$$a\sqrt{2}=24 \           ,\
a=\frac{24}{\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{24\sqrt{2}}{2} \           ,\
a=12\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:



W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2 \           ,\
h^2+36\cdot2=400 \           ,\
h^2+72=400 \           ,\
h^2=328 \           ,\
h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:
$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \           ,\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \           ,\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \           ,\
P_{b}=48\sqrt{164} \           ,\
P_{b}=48\sqrt{4\cdot41} \           ,\
P_{b}=48\cdot2\sqrt{41} \           ,\
P_{b}=96\sqrt{41}$$

Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{6}=2a_{5} \quad , \\ S_{10}=\frac{15}{4} \end{cases}$$

Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).

W związku z tym:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \quad , \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \quad , \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} a_{1}+5r=2a_{1}+8r \quad , \\ (2a_{1}+9r)\cdot5=\frac{15}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} -a_{1}-3r=0 \quad , \\ 10a_{1}+45r=\frac{15}{4} \quad\bigg/\cdot4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -a_{1}-3r=0 \quad\bigg/\cdot40 \quad , \\ 40a_{1}+180r=15 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -40a_{1}-120r=0 \quad\bigg/\cdot40 \quad , \\ 40a_{1}+180r=15 \end{cases}$$

Dodając równania stronami otrzymamy:
$$60r=15 \           ,\
r=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:
$$-a_{1}-3r=0 \           ,\
-a_{1}-3\frac{1}{4}=0 \           ,\
-a_{1}-\frac{3}{4}=0 \           ,\
a_{1}=-\frac{3}{4}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej \(AB\), tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:



Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że boku \(AC\) oraz \(BC\) są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych \(|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}\) oraz \(|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}\) i podstawić tam współrzędne naszych punktów \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\) oraz \(B=(x,y)\). Otrzymamy wtedy:
$$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \           ,\
\sqrt{(1-(-1))^2+(9-1)^2}=\sqrt{(1-x)^2+(9-y)^2} \quad\bigg/^2 \           ,\
(1+1)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \           ,\
2^2+8^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \           ,\
4+64=(1-x)^2+(9-y)^2 \           ,\
(1-x)^2+(9-y)^2=68$$

Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - \(x\) oraz \(y\). Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
2y=x+3 \           ,\
x=2y-3$$

Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:
$$(1-(2y-3))^2+(9-y)^2=68 \           ,\
(1-2y+3)^2+(9-y)^2=68 \           ,\
(4-2y)^2+(9-y)^2=68 \           ,\
16-16y+4y^2+81-18y+y^2=68 \           ,\
5y^2-34y+97=68 \           ,\
5y^2-34y+29=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=29\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot29=1156-580=576 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)-24}{2\cdot5}=\frac{34-24}{10}=\frac{10}{10}=1 \           ,\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)+24}{2\cdot5}=\frac{34+24}{10}=\frac{58}{10}=\frac{29}{5}$$

Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Otrzymaliśmy dwa wyniki: \(y=1\) oraz \(y=\frac{29}{5}\). Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania \(x=2y-3\).

Dla \(y=1\):
$$x=2\cdot1-3 \           ,\
x=2-3 \           ,\
x=-1$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=-1\) oraz \(y=1\), czyli współrzędne punktu \(A\).

Dla \(y=\frac{29}{5}\):
$$x=2\cdot\frac{29}{5}-3 \           ,\
x=\frac{58}{5}-3 \           ,\
x=\frac{43}{5}$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=\frac{43}{5}\) oraz \(y=\frac{29}{5}\) i to są właśnie współrzędne punktu \(B\).