Krok 1. Oznaczenia i podstawowa proporcja.
Niech \(|AB|=a\) oraz \(|CD|=b\) (podstawy trapezu, \(AB\parallel CD\)).
Trójkąty \(APB\) i \(CPD\) są podobne (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych), a skala podobieństwa wynosi \(\frac{a}{b}\). Zatem:
\(\frac{|AP|}{|PC|}=\frac{|BP|}{|PD|}=\frac{a}{b}\), skąd \(\frac{|AP|}{|AC|}=\frac{|BP|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\)
Krok 2. Odcinek \(MP\).
W trójkącie \(ACD\) prosta \(MP\) jest równoległa do boku \(CD\) (bo \(MN\parallel CD\)), a punkt \(P\) leży na \(AC\). Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{|MP|}{|CD|}=\frac{|AP|}{|AC|}=\frac{a}{a+b}\)
\(|MP|=\frac{ab}{a+b}\)
Krok 3. Odcinek \(NP\).
W trójkącie \(BCD\) prosta \(NP\) jest równoległa do boku \(CD\), a punkt \(P\) leży na \(BD\):
\(\frac{|NP|}{|CD|}=\frac{|BP|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\)
\(|NP|=\frac{ab}{a+b}\)
Krok 4. Wniosek.
\(|MP|=|NP|=\frac{ab}{a+b}\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)