Zadanie 7 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|FB|=t\). Wtedy \(|AD|=|DE|=|EF|=2t\) oraz:

\(|AE|=|AD|+|DE|=4t\), \(\;|EB|=|EF|+|FB|=3t\)

Krok 2. Podobieństwo trójkątów \(ADG\) i \(AEC\).

Ponieważ \(DG\parallel EC\), trójkąty \(ADG\) i \(AEC\) są podobne (cecha kąt–kąt) w skali:

\(k_1=\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{2t}{4t}=\frac{1}{2}\)

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali:

\(P_{ADG}=\frac{1}{4}P_{AEC}\)

Krok 3. Podobieństwo trójkątów \(FBH\) i \(EBC\).

Ponieważ \(FH\parallel EC\), trójkąty \(FBH\) i \(EBC\) są podobne w skali:

\(k_2=\frac{|FB|}{|EB|}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}\)

\(P_{FBH}=\frac{1}{9}P_{EBC}\), czyli \(P_{EBC}=9S\)

Krok 4. Porównanie pól trójkątów \(AEC\) i \(EBC\).

Trójkąty \(AEC\) i \(EBC\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(C\) na prostą \(AB\), więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:

\(\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}}=\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{4t}{3t}=\frac{4}{3}\)

\(P_{AEC}=\frac{4}{3}\cdot 9S=12S\)

Krok 5. Wniosek.

\(P_{ADG}=\frac{1}{4}\cdot 12S=3S\)

co należało wykazać. \(\blacksquare\)