Zadanie 12 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2015 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wprowadzenie wektorów.

Przyjmijmy punkt \(C\) za początek układu i oznaczmy \(\vec{b}=\vec{CB}\), \(\vec{c}=\vec{CA}\).

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\), więc \(\vec{CD}=\frac{1}{2}\vec{c}\).

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\):

\(\vec{CS}=\frac{1}{2}\left(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right)=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\)

Krok 2. Punkt \(P\) jako przecięcie prostej \(AS\) z bokiem \(BC\).

Punkt na prostej \(AS\): \(\vec{CX}=\vec{c}+s\left(\vec{CS}-\vec{c}\right)=\vec{c}+s\left(\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{3}{4}\vec{c}\right)\)

Punkt na prostej \(BC\): \(\vec{CX}=t\,\vec{b}\)

Porównujemy współczynniki przy \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\) (wektory te nie są równoległe):

przy \(\vec{c}\): \(1-\frac{3}{4}s=0\Rightarrow s=\frac{4}{3}\)

przy \(\vec{b}\): \(t=\frac{1}{2}s=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Wniosek.

\(\vec{CP}=\frac{2}{3}\vec{b}=\frac{2}{3}\vec{CB}\)

Zatem \(|CP|=\frac{2}{3}|CB|=\frac{2}{3}a\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)