Krok 1. Symetria trapezu.
W trapezie równoramiennym oś symetrii zamienia miejscami końce każdej z podstaw, więc odbicie względem prostej \(y=2x\) przeprowadza \(A\) na \(B\) oraz \(C\) na \(D\).
Prostą zapisujemy w postaci ogólnej: \(2x-y=0\).
Krok 2. Odbicie punktu \(A\).
Dla punktu \(P=(x_0,y_0)\) i prostej \(2x-y=0\):
\(P'=P-\frac{2(2x_0-y_0)}{5}\cdot[2,-1]\)
Dla \(A=(-5,5)\): \(2\cdot(-5)-5=-15\), a \(\frac{2\cdot(-15)}{5}=-6\):
\(B=(-5,5)+6\cdot[2,-1]=(-5+12,\;5-6)=(7,-1)\)
Krok 3. Odbicie punktu \(C\).
Dla \(C=(8,6)\): \(2\cdot 8-6=10\), a \(\frac{2\cdot 10}{5}=4\):
\(D=(8,6)-4\cdot[2,-1]=(8-8,\;6+4)=(0,10)\)
Krok 4. Długości podstaw.
\(|AB|=\sqrt{(7+5)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)
\(|CD|=\sqrt{(0-8)^2+(10-6)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
Sprawdzenie równoległości: \(\vec{AB}=[12,-6]\), \(\vec{DC}=[8,-4]\) — wektory są równoległe ✓
Krok 5. Wysokość trapezu.
Prosta \(AB\) przechodzi przez \(A=(-5,5)\) i ma wektor kierunkowy \([12,-6]\), czyli \([2,-1]\):
\(AB:\;x+2y-5=0\)
Wysokość to odległość punktu \(C=(8,6)\) od tej prostej:
\(h=\frac{|8+12-5|}{\sqrt{1+4}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)
Krok 6. Pole.
\(P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{6\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{2}\cdot 3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}=75\)
Odpowiedź: \(B=(7,-1)\), \(D=(0,10)\), pole trapezu \(P=75\)