Krok 1. Kierunek prostej \(BC\).
Wysokość poprowadzona z \(A\) jest prostopadła do boku \(BC\). Prosta \(2x+19y+52=0\) ma wektor normalny \([2,19]\), zatem wektor ten jest równoległy do prostej \(BC\).
(Sprawdzenie: \(2\cdot(-7)+19\cdot(-2)+52=-14-38+52=0\), więc punkt \(A\) rzeczywiście leży na tej prostej.)
Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(4,-7)\) i ma kierunek \([2,19]\):
\(C=(4+2t,\;-7+19t)\) dla pewnego \(t\in\mathbb{R}\)
Krok 2. Symetralna podstawy.
Trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(|CA|=|CB|\), czyli punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\).
Środek odcinka: \(M=\left(-\frac{3}{2},-\frac{9}{2}\right)\); wektor \(\vec{AB}=[11,-5]\).
Symetralna: \(11\left(x+\frac{3}{2}\right)-5\left(y+\frac{9}{2}\right)=0\)
\(11x-5y+\frac{33}{2}-\frac{45}{2}=0\)
\(11x-5y-6=0\)
Krok 3. Wyznaczenie punktu \(C\).
Podstawiamy współrzędne punktu \(C\):
\(11(4+2t)-5(-7+19t)-6=0\)
\(44+22t+35-95t-6=0\)
\(73-73t=0\Rightarrow t=1\)
\(C=(4+2,\;-7+19)=(6,12)\)
Sprawdzenie: \(|CA|=\sqrt{13^2+14^2}=\sqrt{365}\), \(\;|CB|=\sqrt{2^2+19^2}=\sqrt{365}\) ✓
Odpowiedź: \(C=(6,12)\)