Krok 1. Wysokość w zależności od promienia.
\(P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\)
Dzielimy przez \(2\pi\):
\(r^2+rh=1\)
\(h=\frac{1-r^2}{r}\)
Z warunków \(r\gt 0\) i \(h\gt 0\) wynika \(1-r^2\gt 0\), czyli \(r\in(0,1)\).
Krok 2. Objętość jako funkcja promienia.
\(V=\pi r^2 h=\pi r^2\cdot\frac{1-r^2}{r}=\pi r\left(1-r^2\right)\)
\(V(r)=\pi\left(r-r^3\right)\) dla \(r\in(0,1)\)
Krok 3. Badanie funkcji.
\(V'(r)=\pi\left(1-3r^2\right)\)
\(V'(r)=0\iff r^2=\frac{1}{3}\iff r=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) (bierzemy wartość dodatnią)
Dla \(r\in\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\): \(V'(r)\gt 0\) — funkcja rosnąca.
Dla \(r\in\left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\): \(V'(r)\lt 0\) — funkcja malejąca.
Zatem dla \(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\) objętość jest największa.
Krok 4. Największa objętość.
\(V\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{27}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)=\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{9}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}\)
Uwaga: odpowiadająca wysokość wynosi \(h=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Odpowiedź: \(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\), a największa objętość jest równa \(\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}\).