Zadanie 6 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

a) Dla kąta ostrego \(\alpha\) mamy \(\sin\alpha>0\) oraz \(0\lt \cos\alpha\lt 1\). Przekształcamy wyrażenie:

\(\sin\alpha-\mathrm{tg}\,\alpha=\sin\alpha-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin\alpha\left(1-\dfrac{1}{\cos\alpha}\right)=\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha}\).

W otrzymanym iloczynie \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha>0\), a \(\cos\alpha-1\lt 0\) (bo \(\cos\alpha\lt 1\)).

Zatem całe wyrażenie jest ujemne, czyli \(\sin\alpha-\mathrm{tg}\,\alpha\lt 0\). \(\blacksquare\)

b) Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\(\cos^3\alpha+\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha\).

Z jedynki trygonometrycznej:

\(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{2\sqrt2}{3}\right)^2=1-\dfrac89=\dfrac19\),

a ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\cos\alpha=\dfrac13\).

Odpowiedź: wartość wyrażenia wynosi \(\dfrac13\).