Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

a) Z różnicy wyrazów:

\(a_{11}-a_7=4r=9-1=8\), skąd \(r=2\).

Z \(a_7=a_1+6r\):

\(1=a_1+12\), czyli \(a_1=-11\).

Wzór ogólny: \(a_n=-11+2(n-1)=2n-13\).

b) Obliczamy \(a_8=2\cdot8-13=3\). Sprawdzamy warunek na ciąg geometryczny:

\(a_8^2=3^2=9\), \(\ a_7\cdot a_{11}=1\cdot9=9\).

Warunek jest spełniony, a żaden z wyrazów nie jest zerem, więc ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(q=3\).

c) Ciąg jest rosnący (\(r=2>0\)). Suma \(S_n\) maleje dopóki dodajemy wyrazy ujemne:

\(a_n=2n-13\lt 0\ \Longleftrightarrow\ n\lt 6{,}5\),

czyli ujemne są wyrazy \(a_1,\ldots,a_6\) (przy czym \(a_6=-1\)), a \(a_7=1>0\).

Suma jest więc najmniejsza dla \(n=6\):

\(S_6=\dfrac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\dfrac{-11-1}{2}\cdot6=-36\).

Sprawdzenie: \(S_5=-35\), \(S_7=-35\) — obie wartości większe od \(-36\). ✅