Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

a) Sprawdzamy różnicę kolejnych wyrazów:

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{5-3(n+1)}{7}-\dfrac{5-3n}{7}=\dfrac{5-3n-3-5+3n}{7}=\dfrac{-3}{7}\).

Różnica nie zależy od \(n\), więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\dfrac37\).

b) Obliczamy potrzebne wyrazy:

\(a_4=\dfrac{5-12}{7}=-1\), \(\ a_{11}=\dfrac{5-33}{7}=-4\).

Warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:

\(\left(x^2+2\right)^2=a_4\cdot a_{11}=(-1)\cdot(-4)=4\).

Stąd \(x^2+2=2\) lub \(x^2+2=-2\). Druga możliwość odpada, bo \(x^2+2\ge2>0\).

Z \(x^2+2=2\) otrzymujemy \(x^2=0\), czyli \(x=0\).

Sprawdzenie: ciąg \((-1,\ 2,\ -4)\) ma iloraz \(q=-2\) w obu krokach. ✅