Zadanie 6 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

Z wykresu odczytujemy: miejsca zerowe \(x_1=-1\), \(x_2=3\), wierzchołek \(W=(1,4)\), a wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,3)\). Ramiona paraboli są skierowane w dół.

c) Wzór funkcji. Z postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) oraz warunku \(f(0)=3\):

\(a\cdot1\cdot(-3)=3\), czyli \(-3a=3\), skąd \(a=-1\).

Zatem \(f(x)=-(x+1)(x-3)\) (równoważnie \(f(x)=-x^2+2x+3\)).

a) Nierówność \(f(x)\le3\).

\(-x^2+2x+3\le3\),

\(-x^2+2x\le0\), czyli \(x^2-2x\ge0\), a więc \(x(x-2)\ge0\).

Stąd \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). (Można to też odczytać wprost z wykresu: wartości nie większe niż 3 są poza przedziałem \((0,2)\).)

b) Wartości ekstremalne na \(\langle0,3\rangle\).

Wierzchołek \(x=1\) należy do przedziału, więc

wartość największa: \(f(1)=4\),

wartość najmniejsza: na krańcach \(f(0)=3\), \(f(3)=0\), czyli \(0\).