📄 Treść zadania
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30$$
$$30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30$$
$$1=\frac{a_{1}+30}{2}$$
$$2=a_{1}+30$$
$$a_{1}=-28$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+(30-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+29r$$
$$30=-28+29r$$
$$58=29r$$
$$r=2$$