Zadanie 17 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

Z wykresu pochodnej odczytujemy jej miejsca zerowe: \(x=-4\), \(x=0\), \(x=4\), oraz znaki:

\(f'(x)\lt 0\) dla \(x\lt -4\) i dla \(0\lt x\lt 4\); \(\ f'(x)>0\) dla \(-4\lt x\lt 0\) i dla \(x>4\).

a) Funkcja maleje tam, gdzie jej pochodna jest ujemna, więc maksymalne przedziały monotoniczności malejącej to

\((-\infty,-4\rangle\) oraz \(\langle0,4\rangle\).

b) Maksimum lokalne występuje tam, gdzie pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny. Z wykresu widać, że dzieje się tak jedynie w punkcie

\(x=0\)

(dla \(x\in(-4,0)\) mamy \(f'>0\), a dla \(x\in(0,4)\) mamy \(f'\lt 0\)). W punktach \(x=-4\) i \(x=4\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc są to minima lokalne.

c) Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie \(A\) jest równy \(f'(1)\), a z wykresu \(f'(1)=-2\).

Równanie stycznej:

\(y-2=-2(x-1)\), czyli \(y=-2x+4\).