Krok 1. Uproszczenie wzoru i pochodna.
\(f(x)=\frac{x^3+k}{x}=x^2+\frac{k}{x}\)
\(f'(x)=2x-\frac{k}{x^2}\)
Krok 2. Warunki styczności.
Niech \(x_0\neq 0\) będzie odciętą punktu styczności. Prosta \(y=-x\) ma współczynnik kierunkowy \(-1\), więc:
\(\begin{cases}f'(x_0)=-1\\ f(x_0)=-x_0\end{cases}\)
Krok 3. Rozwiązanie układu.
Z pierwszego równania:
\(2x_0-\frac{k}{x_0^2}=-1\Rightarrow k=x_0^2\left(2x_0+1\right)=2x_0^3+x_0^2\)
Z drugiego równania:
\(x_0^2+\frac{k}{x_0}=-x_0\)
Mnożymy przez \(x_0\):
\(x_0^3+k=-x_0^2\Rightarrow k=-x_0^3-x_0^2\)
Porównujemy oba wyrażenia na \(k\):
\(2x_0^3+x_0^2=-x_0^3-x_0^2\)
\(3x_0^3+2x_0^2=0\)
\(x_0^2\left(3x_0+2\right)=0\)
Ponieważ \(x_0\neq 0\), otrzymujemy \(x_0=-\frac{2}{3}\).
Krok 4. Obliczenie \(k\).
\(k=-x_0^3-x_0^2=-\left(-\frac{8}{27}\right)-\frac{4}{9}=\frac{8}{27}-\frac{12}{27}=-\frac{4}{27}\)
Sprawdzenie: \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}+\frac{-\frac{4}{27}}{-\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=-x_0\) ✓
Odpowiedź: \(k=-\frac{4}{27}\)