Zadanie 16 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy \(a=P(A)\), \(b=P(B)\).

Z niezależności zdarzeń: \(P(A\cap B)=ab\).

Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:

\(P(A\cup B)=a+b-ab=1\).

Przekształcamy:

\(a+b-ab-1=0\),

\(-(1-a-b+ab)=0\),

\((1-a)(1-b)=0\).

Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem, czyli \(a=1\) lub \(b=1\).

Oznacza to, że \(P(A)=1\) lub \(P(B)=1\), czyli jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. \(\blacksquare\)