Wyznaczenie ilorazu. Z własności ciągu geometrycznego \((x+3)^2=(x-3)(6x+2)\):
\(x^2+6x+9=6x^2-16x-6\), czyli \(5x^2-22x-15=0\).
\(\Delta=484+300=784\), \(\sqrt{\Delta}=28\), skąd \(x=5\) lub \(x=-\tfrac35\).
Dla \(x=-\tfrac35\) pierwszy wyraz \(x-3=-\tfrac{18}{5}\lt 0\), co przeczy założeniu o wyrazach dodatnich — odrzucamy.
Dla \(x=5\) ciąg zaczyna się od \(2,\ 8,\ 32,\ldots\), zatem
\(q=\dfrac{8}{2}=4\).
Dowód nierówności. Ponieważ \(q=4\neq1\), to \(S_n=a_1\dfrac{q^n-1}{q-1}=2\cdot\dfrac{4^n-1}{3}\), a więc
\(\dfrac{S_{19}}{S_{20}}=\dfrac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\).
Nierówność \(\dfrac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt \dfrac14\) jest — przy dodatnim mianowniku \(4^{20}-1>0\) — równoważna nierówności
\(4\left(4^{19}-1\right)\lt 4^{20}-1\),
\(4^{20}-4\lt 4^{20}-1\),
\(-4\lt -1\),
co jest prawdą. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem \(\dfrac{S_{19}}{S_{20}}\lt \dfrac14\). \(\blacksquare\)