📄 Treść zadania
Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\). Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wiemy, że \(q=\frac{1}{3}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$$
$$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\frac{1}{9}$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Podstawiając do tego wzoru znane informacje, otrzymamy:
$$\frac{364}{243}=1\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}$$
$$\frac{364}{243}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$
$$\frac{728}{729}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/-1$$
$$-\frac{1}{729}=-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{729}$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^6$$
$$n=6$$
To oznacza, że ten ciąg składa się z sześciu wyrazów.