📄 Treść zadania
Ciąg \((x-3,x,y)\) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg \((x,y,2y)\) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.
Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych.
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x=\frac{x-3+y}{2}$$
$$2x=x-3+y$$
$$x=-3+y$$
Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$y^2=x\cdot2y$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
$$\begin{cases} x=-3+y \\ y^2=x\cdot2y \end{cases}$$
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$y^2=(-3+y)\cdot2y$$
$$y^2=-6y+2y^2$$
$$y^2-6y=0$$
$$y(y-6)=0$$
$$y=0 \quad\lor\quad y=6$$
Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\).
Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$x=-3+y$$
$$x=-3+6$$
$$x=3$$
Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy:
Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\)
Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)