Zadanie 20 Interpretacja pochodnej: styczna i prędkość — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — definicja pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Krok 2 — podstawiamy $f(x)=x^2$:

$$\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}$$

Krok 3 — rozwijamy licznik:

$$\frac{x_0^2+2x_0 h+h^2-x_0^2}{h}=\frac{2x_0 h+h^2}{h}$$

Krok 4 — skracamy przez $h$ (dla $h\neq0$):

$$2x_0+h$$

Krok 5 — przechodzimy do granicy $h\to0$:

$$\lim_{h\to0}(2x_0+h)=2x_0 \qquad ∎$$

Wniosek: definicja potwierdza wzór $\left(x^2\right)'=2x$, który wcześniej stosowaliśmy jako gotowy.