Zadanie 18 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki.

Wyróżnik $\Delta\ge0$:

$$m^2-4(m+3)\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2-4m-12\ge0$$

Miejsca zerowe $m=-2$ i $m=6$, więc $m\le-2$ lub $m\ge6$.

Suma $>0$:

$$x_1+x_2=m>0$$

Iloczyn $>0$:

$$x_1 x_2=m+3>0 \quad\Rightarrow\quad m>-3$$

Krok 2 — część wspólna trzech warunków. Z sumy $m>0$, z iloczynu $m>-3$ (słabsze), z wyróżnika $m\le-2$ lub $m\ge6$. Łącząc z $m>0$:

$$m\ge6$$

Sprawdzenie dla $m=6$: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, pierwiastek podwójny $x=3>0$ ✔

Odpowiedź: $m\ge6$.