Zadanie 19 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Przypadek 1: $m=0$. Nierówność redukuje się do $2x+1>0$, czyli $x>-\frac12$ — nie zachodzi dla wszystkich $x$. Odrzucamy.

Przypadek 2: $m\neq0$. Aby parabola była zawsze dodatnia, potrzeba ramion w górę i braku pierwiastków:

• $m>0$ — ramiona w górę,
• $\Delta\lt 0$ — brak miejsc zerowych.

Wyróżnik:

$$\Delta=4-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Część wspólna: $m>0$ i $m>1$ daje $m>1$.

Wniosek. Warunek $m>1$ pochłania $m>0$, a przypadek $m=0$ odpadł osobno. Zawsze trzeba go rozpatrzyć oddzielnie, bo dla $m=0$ wyrażenie przestaje być kwadratowe.

Odpowiedź: $m>1$.