Zadanie 18 Układy równań drugiego stopnia i równania sprowadzalne — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — warunek wspólnych punktów:

$$x^2=x+m \quad\Rightarrow\quad x^2-x-m=0$$

Krok 2 — styczność oznacza jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Krok 3 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-m)=1+4m$$

Krok 4 — przyrównujemy do zera:

$$1+4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\frac14$$

Interpretacja. Dla $m=-\frac14$ prosta dotyka paraboli w jednym punkcie; dla $m>-\frac14$ przecina ją w dwóch, dla $m\lt -\frac14$ omija.

Odpowiedź: $m=-\frac14$.