Sposób 1 — szacowanie grube. Sinus i cosinus nie przekraczają $1$, więc ich suma nie przekracza $2$:
$$\sin x+\cos x\le1+1=2\lt 3$$
Lewa strona nigdy nie osiąga $3$, więc równanie jest sprzeczne. $\qquad ∎$
Sposób 2 — dokładne oszacowanie. Korzystając z tożsamości:
$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
Ponieważ sinus mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$, cała suma należy do $\langle-\sqrt2,\ \sqrt2\rangle$. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41\lt 3$, wartość $3$ jest nieosiągalna.
Wniosek dodatkowy. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że największa możliwa wartość wyrażenia to $\sqrt2$, a nie $2$ — pierwsze oszacowanie było poprawne, ale zawyżone.