Zadanie 17 Granice niewłaściwe i asymptoty wykresu — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla $x=1$:

$$x=1$$

Krok 2 — asymptota pozioma. Sprowadzamy do postaci przesuniętej — w liczniku odtwarzamy mianownik:

$$2x+3=2(x-1)+5 \quad\Rightarrow\quad f(x)=2+\frac{5}{x-1}$$

Krok 3 — granica. Dla $x\to\pm\infty$ składnik $\frac{5}{x-1}$ dąży do zera:

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Wniosek. Postać przesunięta $2+\frac{5}{x-1}$ od razu ujawnia obie asymptoty: pionową $x=1$ i poziomą $y=2$.

Odpowiedź: $x=1$ oraz $y=2$.