📄 Treść zadania
Równanie \(\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
A
nie ma rozwiązań
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
C
ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-3\)
D
ma dokładnie cztery rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\), \(x=3\), \(x=-3\)
Krok 1. Zapisanie założeń do treści zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość z mianownika musi być różna od zera. To sprawia, że musimy do treści zadania wprowadzić pewne założenia:
$$x-2\neq0 \quad\lor\quad (x-3)^2\neq0$$
$$x\neq2 \quad\lor\quad x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony przez wartość z mianownika, zatem:
$$\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2)(x-3)^2$$
$$(3x^2-6x)(x^2-9)=0$$
$$3x^2-6x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x(3x-6)=0 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi założeniami. Zgodnie z nimi musimy odrzucić rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=3\), stąd też zostają nam jedynie dwa rozwiązania, czyli \(x=0\) oraz \(x=-3\).