📄 Treść zadania
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0$$
$$x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2)$$
$$2x+4=(2x+1)\cdot(x-2)$$
$$2x+4=2x^2-4x+x-2$$
$$2x+4=2x^2-3x-2$$
$$-2x^2+5x+6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.