📄 Treść zadania
Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już \(97\) spośród \(3697\) zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał \(n\) zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o \(5\), czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o \(10\) dni. Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(m\) - liczba dni potrzebnych na rozwiązanie
\(n\) - liczba rozwiązywanych zadań dziennie
\(m-10\) - skrócona liczba dni nauki
\(n+5\) - zwiększona liczba rozwiązywanych zadań
Dodatkowo z treści zadania wynika, że zadań, których Szymon jeszcze nie opanował mamy:
$$3697-97=3600$$
Krok 2. Ułożenie równań.
Na podstawie treści zadania możemy wywnioskować, że liczba dni pomnożona przez liczbę zadań rozwiązywanych dziennie powinna dać wynik równy \(3600\), zatem:
$$m\cdot n=3600$$
Chcemy, by liczba dni była skrócona o \(10\), a liczba zadań żeby była zwiększona o \(5\), zatem powstanie nam następujące równanie:
$$(m-10)\cdot(n+5)=3600$$
$$mn+5m-10n-50=3600$$
Zapisaliśmy sobie przed chwilą, że \(mn=3600\), więc podstawiając tę wartość do naszego równania, otrzymamy:
$$3600+5m-10n-50=3600$$
$$5m=10n+50$$
$$m=2n+10$$
Teraz wracamy do równania \((m-10)\cdot(n+5)=3600\) i podstawiamy tam wyznaczone przed chwilą \(m=2n+10\), zatem:
$$(2n+10-10)\cdot(n+5)=3600$$
$$2n\cdot(n+5)=3600$$
$$2n^2+10n=3600$$
$$2n^2+10n-3600=0$$
$$n^2+5n-1800=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-1800\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-1800)=25-(-7200)=7225$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{7225}=85$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-85}{2\cdot1}=\frac{-90}{2}=-45$$
$$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+85}{2\cdot1}=\frac{80}{2}=40$$
Krok 4. Obliczenie liczby dni potrzebnych na rozwiązywanie zadań.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale to ujemne musimy oczywiście odrzucić, ponieważ liczba rozwiązywanych zadań nie może być ujemna. Zostaje nam więc jedynie \(n=40\). Celem zadania jest wyznaczenie \(m\), czyli liczby dni, zatem korzystając z jednego z równań zapisanych wcześniej, możemy zapisać, że:
$$m=2n+10$$
$$m=2\cdot40+10$$
$$m=80+10$$
$$m=90$$