📄 Treść zadania
Równanie \(\dfrac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
A
dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=3\).
B
dokładnie dwa rozwiązania: \(x=2, x=3\).
C
dokładnie trzy rozwiązania: \(x=1, x=2, x=3\).
D
dokładnie cztery rozwiązania: \(x=-3, x=1, x=2, x=3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że:
$$(1-x)(2-x)\neq0$$
Mamy postać iloczynową, zatem:
$$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x)$$
$$(2x-4)(2x-6)^2=0$$
Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0$$
$$2x=4 \quad\lor\quad 2x=6$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).