📄 Treść zadania
Równanie \(\dfrac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
A
dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)
B
dokładnie dwa rozwiązania: \(x=1,5, x=2\)
C
dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=2\)
D
dokładnie cztery rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=1,5, x=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do równania. Na matematyce dzielenie przez zero nie istnieje, więc i wartość mianownika musi być różna od zera. W mianowniku mamy równanie zapisane w postaci iloczynowej, zatem wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, czyli:
$$2x\neq0 \quad\land\quad x-1,5\neq0 \quad\land\quad x+6\neq0$$
$$x\neq0 \quad\land\quad x\neq1,5 \quad\land\quad x\neq-6$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku, otrzymamy:
$$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0 \quad\bigg/\cdot 2x(x-1,5)(x+6)$$
$$(4x-6)(x-2)^2=0$$
$$4x-6=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$4x=6 \quad\lor\quad x=2$$
$$x=1,5 \quad\lor\quad x=2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z naszymi założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1,5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości otrzymamy zero w mianowniku. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem będzie \(x=2\).