📄 Treść zadania
Dany jest ciąg geometryczny \(a_{n}\) , określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A
\(\frac{1}{3}\)
B
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C
\(3\)
D
\(\sqrt{3}\)
Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).
Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$
Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem:
$$q^2=\frac{1}{9}$$
$$q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$
Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).