📄 Treść zadania
W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:
A
\(2\)
B
\(1\)
C
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D
\(\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:
$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m}$$
$$\bar{a}=\frac{6m}{2m}$$
$$\bar{a}=3$$
Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{m+m}{2m}$$
$$σ^2=1$$
II sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2$$
$$σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2$$
$$σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9$$
$$σ^2=\frac{20m}{2m}-9$$
$$σ^2=10-9$$
$$σ^2=1$$
Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:
$$σ=\sqrt{1}=1$$