📄 Treść zadania
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{3}=1\) i \(a_{4}=\frac{2}{3}\). Wtedy:
A
\(a_{1}=\frac{2}{3}\)
B
\(a_{1}=\frac{4}{9}\)
C
\(a_{1}=\frac{3}{2}\)
D
\(a_{1}=\frac{9}{4}\)
Krok 1. Obliczenie parametru \(q\).
Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\).
Tak więc:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1}$$
$$1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$
$$1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4}$$
$$a_{1}=\frac{9}{4}$$