Zadanie 11 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Zapisanie warunków.

Ciąg geometryczny: \(b^2=a\cdot c\)

Ciąg arytmetyczny: \(2\cdot 2b=2a+(c+1)\), czyli \(4b=2a+c+1\)

Trzeci warunek: \(c=b+6\)

Krok 2. Wyznaczenie \(a\) w zależności od \(b\).

Podstawiamy \(c=b+6\) do drugiego równania:

\(4b=2a+b+6+1\)

\(2a=3b-7\)

\(a=\frac{3b-7}{2}\)

Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.

\(b^2=\frac{3b-7}{2}\cdot(b+6)\)

\(2b^2=(3b-7)(b+6)=3b^2+11b-42\)

\(b^2+11b-42=0\)

\(\Delta=121+168=289\), \(\;\sqrt{\Delta}=17\)

\(b_1=\frac{-11-17}{2}=-14\), \(\;b_2=\frac{-11+17}{2}=3\)

Wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(b=3\).

Krok 4. Pozostałe wyrazy.

\(a=\frac{3\cdot 3-7}{2}=1\), \(\;c=3+6=9\)

Sprawdzenie: \((1,3,9)\) — ciąg geometryczny o ilorazie \(3\) ✓; \((2,6,10)\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(4\) ✓; \(c-b=9-3=6\) ✓

Odpowiedź: \(a=1\), \(b=3\), \(c=9\)