📄 Treść zadania
Ciąg \((4, x, y)\) jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg \((y, x+1, 5)\) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz \(x\).
Krok 1. Rozpisanie wartości \(x\) z wykorzystaniem własności ciągów geometrycznych i arytmetycznych.
Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$x^2=4\cdot y$$
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x+1=\frac{y+5}{2}$$
Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
W poprzednim kroku otrzymaliśmy dwa równania z których moglibyśmy stworzyć układ równań:
$$\begin{cases} x^2=4y \\ x+1=\frac{y+5}{2} \end{cases}$$
Spróbujmy teraz rozwiązać ten układ równań metodą podstawiania. Najlepiej będzie przekształcić drugie równanie tak aby dało się podstawić igreka z drugiego równania do równania pierwszego (podstawianie iksa też jest dobre, ale jest wbrew pozorom nieco trudniejsze, bo pojawi się potęgowanie). Zatem:
$$\begin{cases} x^2=4y \\ x+1=\frac{y+5}{2} \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^2=4y \\ 2x+2=y+5 \quad\bigg/-5 \quad , \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^2=4y \\ y=2x-3 \end{cases}$$
Podstawiając teraz igreka z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$x^2=4\cdot(2x-3)$$
$$x^2=8x-12$$
$$x^2-8x+12=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwie możliwości \(x=2\) oraz \(x=6\). Musimy się zastanowić, czy przypadkiem którejś z nich nie trzeba odrzucić. Gdy \(x=2\), to ciąg geometryczny będzie malejący \((4,2,y)\). Gdy \(x=6\), to ciąg geometryczny jest rosnący \((4,6,y)\). W treści zadania mamy podane, że ciąg geometryczny ma być malejący, dlatego jedyną poprawną odpowiedzią jest \(x=2\).