📄 Treść zadania
Pole rombu o obwodzie \(20\) i kącie rozwartym \(120°\) jest równe:
A
\(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)
B
\(\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
C
\(\frac{25}{2}\)
D
\(\frac{25\sqrt{3}}{4}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb ma cztery boki o jednakowej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(20\), to:
$$a=20:4$$
$$a=5$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W zadaniu będziemy chcieli skorzystać ze wzoru:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$
Po podstawieniu znanych danych wyjdzie nam, że:
$$P=5^2\cdot sin120°$$
Musimy więc ustalić jaką wartość przyjmuje \(sin120°\), a tej niestety nie ma w tablicach trygonometrycznych. Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$
Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30°$$
$$sin120°=cos30°$$
Wyszło nam więc, że \(sin120°\) jest równy tyle samo co \(cos30°\). Z tablic odczytujemy, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem \(sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Wracając do obliczenia pola powierzchni rombu, możemy zapisać, że:
$$P=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$P=25\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$