📄 Treść zadania
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).
Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$
$$3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n$$
$$3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)$$
$$3^n\cdot10-2^n\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5$$
$$3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10$$
$$10\cdot(3^n-2^{n-1})$$