📄 Treść zadania
Dana jest liczba \(a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}\). Wykaż, że liczba \(a\) jest całkowita.
Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastka.
Zadanie jest dość podchwytliwe, a kluczem do sukcesu jest poprawne pozbycie się pierwiastka. Zastanówmy się jaka wartość wyjdzie nam z pierwiastkowania liczby \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}\). Czy będzie to po prostu \(2-2\sqrt{5}\)? Gdyby tak było, to mielibyśmy sytuację w której z pierwiastka kwadratowego wyjdzie nam wynik ujemny (bo \(2-2\sqrt{5}\) jest ujemne), a to jest przecież sprzeczne z definicją pierwiastka. Czy to oznacza, że zadanie ma błąd? Wszystko jest w porządku, ponieważ wartość \(2-2\sqrt{5}\) jest faktycznie ujemna, jednak podniesiona do kwadratu daje już liczbę dodatnią, no a pierwiastkowanie liczby dodatniej daje liczbę dodatnią.
Musimy po prostu pamiętać, że \(\sqrt{x^2}=|x|\). Teraz sprawa jest już jasna i to oznacza, że \(\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}=|2-2\sqrt{5}|\).
Krok 2. Pozbycie się wartości bezwzględnej.
To jednak nie koniec zadania. Aby wykonać dalsze odejmowanie, które znajduje się na końcu przykładu musimy pozbyć się wartości bezwzględnej. Ustaliliśmy już, że \(2-2\sqrt{5}\) jest liczbą ujemną. Jeżeli mamy przykładowo obliczyć wartość bezwzględną z liczby ujemnej, np. \(|-5|\) to opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak i dlatego np. \(|-5|=5\). W naszym przypadku to oznacza, że:
$$|2-2\sqrt{5}|=-(2-2\sqrt{5})=-2+2\sqrt{5}$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia i zakończenie dowodzenia.
Wiemy już, że z pierwiastka wyjdzie nam wynik \(-2+2\sqrt{5}\) i od tej liczby zgodnie z wyrażeniem musimy jeszcze odjać \(2\sqrt{5}\), otrzymując:
$$a=-2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}$$
$$a=-2$$
\(-2\) jest liczbą całkowitą, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.