📄 Treść zadania
Dane są wielomiany \(P(x)=-2x^3+3x^2-1\), \(Q(x)=2x^2-x-1\) oraz \(W(x)=ax+b\). Wyznacz współczynniki \(a\) i \(b\), tak aby wielomian \(P(x)\) był równy iloczynowi \(W(x)\cdot Q(x)\).
Krok 1. Wymnożenie wielomianów \(W(x)\) oraz \(Q(x)\).
Skoro iloczyn \(W(x)\cdot Q(x)\) ma być równy \(P(X)\) to poznajmy na początku wartość tego iloczynu:
$$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)=$$
$$=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b=$$
$$=2ax^3-ax^2+2bx^2-ax-bx-b=$$
$$=2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b$$
Krok 2. Przyrównanie wielomianu \(P(x)\) do otrzymanego wyniku iloczynu.
Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian \(P(x)\) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretniej wartości stojące przed \(x^3\), przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyrazy wolne:
W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^3\) mamy liczbę \(-2\). W iloczynie przed \(x^3\) otrzymaliśmy \(2a\). Zatem:
$$-2=2a$$
$$a=-1$$
W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^2\) mamy liczbę \(3\). W iloczynie przed \(x^2\) otrzymaliśmy \(-a+2b\). Wartość \(a\) już znamy, zatem:
$$3=-a+2b$$
$$3=-(-1)+2b$$
$$3=1+2b$$
$$2=2b$$
$$b=1$$
Dalej już porównywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań wyszło nam, że \(a=-1\) oraz \(b=1\).