Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy następującą sytuację:
$$7n^2+21n=7n(n+3)$$
Krok 2. Analiza podzielności.
Aby liczba była podzielna przez \(14\), musi być podzielna przez \(7\) oraz przez \(2\). Z postaci \(7n(n+3)\) od razu widać, że liczba ta jest wielokrotnością \(7\), więc dzieli się przez \(7\). Musimy jeszcze wykazać, że wyrażenie \(n(n+3)\) jest parzyste (podzielne przez \(2\)).
Rozpatrzmy dwa przypadki dla liczby całkowitej \(n\):
· jeśli \(n\) jest liczbą parzystą, to iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty, ponieważ mnożenie liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą daje wynik parzysty.
· jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to liczba \((n+3)\) jest parzysta (suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą). Wtedy iloczyn \(n(n+3)\) również jest parzysty.
W obu przypadkach iloczyn \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą, co oznacza, że można go zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą. W takim razie całe wyrażenie przyjmuje postać:
$$7\cdot2k=14k$$
To kończy dowód, ponieważ liczba zapisana w postaci \(14k\) jest podzielna przez \(14\).