📄 Treść zadania
Liczba \(\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}\) jest równa:
A
\(1-2\sqrt{2}\)
B
\(2\sqrt{2}-1\)
C
\(\sqrt{9+4\sqrt{2}}\)
D
\(\sqrt{7}\)
Wynikiem pierwiastka parzystego stopnia jest zawsze liczba dodatnia. Z tego też względu np. \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\), choć przecież \((-5)^2\) jest także równe \(25\). To zadanie ma więc ukrytą w sobie bardzo dużą pułapkę, bo wbrew pozorom potęga znajdująca pod pierwiastkiem nie skróci nam się bezpośrednio z pierwiastkiem, dając ostatecznie wynik \(1-2\sqrt{2}\). Całość zadania należy rozwiązać w następujący sposób:
$$\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}=|1-2\sqrt{2}|$$
Wartość w nawiasie bezwzględności jest ujemna (jest równa około \(-1,8\)). W związku z tym opuszczając nawiasy bezwzględności musimy zmienić znak na przeciwny, zatem:
$$|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$$