📄 Treść zadania
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako \(251x\), a koszty to \(x^2+21x+170\). To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$
To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji \(Z(x)=-x^2+230x-170\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-x^2+230x-170\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-1\) oraz \(b=230\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-230}{2\cdot(-1)}$$
$$p=\frac{-230}{-2}$$
$$p=115$$
To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=115\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;150\rangle\), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(115\) wiatraków.
Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa \(x=115\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=115\) to wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-x^2+230x-170\). Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170$$
$$Z(115)=-13225+26450-170$$
$$Z(115)=13055$$
To oznacza, że największy zysk wynosi \(13055\) złotych.