📄 Treść zadania
Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:
$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.
Krok 1. Rozpisanie podanego równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$a^3+b^3=(a+b)^3$$
$$a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
$$0=3a^2b+3ab^2$$
$$3ab\cdot(a+b)=0 \quad\bigg/:3$$
$$ab\cdot(a+b)=0$$
Otrzymaliśmy tak naprawdę równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać musimy przyrównać \(ab\) oraz \(a+b\) do zera, zatem:
$$ab=0 \quad\lor\quad a+b=0$$
Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i obliczenie wartości liczbowej wyrażenia.
Przeanalizujmy teraz to, co otrzymaliśmy. Zacznijmy od \(ab=0\). Aby iloczyn \(a\cdot b\) był równy \(0\), to któraś z liczb musiałaby być równa \(0\), a z treści zadania wiemy, że \(a\neq0\) oraz \(b\neq0\). To oznacza, że to pierwsze równanie nie spełnia w ogóle naszych założeń.
To teraz spójrzmy na drugie równanie, czyli \(a+b=0\). Na jego podstawie możemy zapisać, że \(a=-b\). Naszym celem jest poznanie wartości liczbowej wyrażenia \(\frac{a}{b}\), a skoro \(a=-b\), to:
$$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=\frac{-1\cdot b}{b}=-1$$