📄 Treść zadania
W ciągu liczbowym \(a_{n}=(-1)^{2n+1}\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\) dla \(n\ge1\) suma \(a_{5}+a_{11}\) jest równa:
A
\(1024\)
B
\(1038\)
C
\(-1024\)
D
\(-1038\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\).
Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\):
$$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right)$$
$$a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1)$$
$$a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1)$$
$$a_{5}=(-1)\cdot15$$
$$a_{5}=-15$$
$$a_{11}=(-1)^{2\cdot11+1}\cdot\left(2^{11-1}-1\right)$$
$$a_{11}=(-1)^{22+1}\cdot(2^{10}-1)$$
$$a_{11}=(-1)^{23}\cdot(1024-1)$$
$$a_{11}=(-1)\cdot1023$$
$$a_{11}=-1023$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\).
Suma tych wyrazów jest więc równa:
$$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023)$$
$$a_{5}+a_{11}=-1038$$