📄 Treść zadania
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\), dla \(n\ge1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?
A
Drugi
B
Trzeci
C
Szósty
D
Trzydziesty
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:
$$a_{2}=2^2-2=4-2=2$$
$$a_{3}=3^2-3=9-3=6$$
$$a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30$$
$$a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$
To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).
II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
$$n^2-n=6$$
$$n^2-n-6=0$$
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
$$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.