📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1$$
$$a_{4}=8$$
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
$$8=-1+3r$$
$$9=3r$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=147,5\cdot100$$
$$S_{100}=14750$$